Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48784 / 51090
↖ ↑ ↗
← S 70.411032°
E 87.978516°		 ← 204.78 m → S 70.411032°
E 87.984009°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
S 70.412873°
E 87.978516°		 ← 204.76 m →
41 929 m²		 S 70.412873°
E 87.984009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744392395019531 y=0.779579162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744392395019531 × 216)
    floor (0.744392395019531 × 65536)
    floor (48784.5)     		tx = 48784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779579162597656 × 216)
    floor (0.779579162597656 × 65536)
    floor (51090.5)     		ty = 51090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48784 / 51090 ti = "16/48784/51090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48784/51090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48784 ÷ 216
    48784 ÷ 65536     		x = 0.744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51090 ÷ 216
    51090 ÷ 65536     		y = 0.779571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744384765625 × 2 - 1) × π
    0.48876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53551477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.55914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75659974967734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53551477} λ = 1.53551477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75659974967734))-π/2
    2×atan(0.172630855120739)-π/2
    2×0.170945999604028-π/2
    0.341891999208057-1.57079632675     		φ = -1.22890433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53551477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22890433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.411032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48784 KachelY 51090 1.53551477 -1.22890433 87.978516 -70.411032
    Oben rechts KachelX + 1 48785 KachelY 51090 1.53561064 -1.22890433 87.984009 -70.411032
    Unten links KachelX 48784 KachelY + 1 51091 1.53551477 -1.22893647 87.978516 -70.412873
    Unten rechts KachelX + 1 48785 KachelY + 1 51091 1.53561064 -1.22893647 87.984009 -70.412873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22890433--1.22893647) × R
    3.21400000000693e-05 × 6371000     		dl = 204.763940000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22890433--1.22893647) × R
    3.21400000000693e-05 × 6371000     		dr = 204.763940000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53551477-1.53561064) × cos(-1.22890433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335270182998535 × 6371000     		do = 204.778927421163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53551477-1.53561064) × cos(-1.22893647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335239903023589 × 6371000     		du = 204.76043278279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22890433)-sin(-1.22893647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335270182998535-0.335239903023589)×R²
    abs(1.53561064-1.53551477)×3.02799749464788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02799749464788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02799749464788e-05×40589641000000     		ar = 41929.4464940503m²