Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48782 / 81344
↖ ↑ ↗
← S 39.774770°
W 46.016236°		 ← 234.74 m → S 39.774770°
W 46.013489°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
S 39.776880°
W 46.016236°		 ← 234.73 m →
55 094 m²		 S 39.776880°
W 46.013489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372180938720703 y=0.620609283447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372180938720703 × 217)
    floor (0.372180938720703 × 131072)
    floor (48782.5)     		tx = 48782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620609283447266 × 217)
    floor (0.620609283447266 × 131072)
    floor (81344.5)     		ty = 81344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48782 / 81344 ti = "17/48782/81344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48782/81344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48782 ÷ 217
    48782 ÷ 131072     		x = 0.372177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81344 ÷ 217
    81344 ÷ 131072     		y = 0.62060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372177124023438 × 2 - 1) × π
    -0.255645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80313482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80313482} λ = -0.80313482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757786509193848))-π/2
    2×atan(0.468702748867769)-π/2
    2×0.438297820035683-π/2
    0.876595640071367-1.57079632675     		φ = -0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80313482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.016236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48782 KachelY 81344 -0.80313482 -0.69420069 -46.016236 -39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 48783 KachelY 81344 -0.80308688 -0.69420069 -46.013489 -39.774770
    Unten links KachelX 48782 KachelY + 1 81345 -0.80313482 -0.69423753 -46.016236 -39.776880
    Unten rechts KachelX + 1 48783 KachelY + 1 81345 -0.80308688 -0.69423753 -46.013489 -39.776880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69420069--0.69423753) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dl = 234.707640000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69420069--0.69423753) × R
    3.6840000000038e-05 × 6371000     		dr = 234.707640000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80313482--0.80308688) × cos(-0.69420069) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 234.739632476252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80313482--0.80308688) × cos(-0.69423753) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.768541753172806 × 6371000     		du = 234.732433684091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69420069)-sin(-0.69423753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.768541753172806)×R²
    abs(-0.80308688--0.80313482)×2.35696970408705e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35696970408705e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35696970408705e-05×40589641000000     		ar = 55094.3403536243m²