Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48779 / 50617
↖ ↑ ↗
← S 69.521069°
E 87.951050°		 ← 213.69 m → S 69.521069°
E 87.956543°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 69.522990°
E 87.951050°		 ← 213.67 m →
45 660 m²		 S 69.522990°
E 87.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744316101074219 y=0.772361755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744316101074219 × 216)
    floor (0.744316101074219 × 65536)
    floor (48779.5)     		tx = 48779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772361755371094 × 216)
    floor (0.772361755371094 × 65536)
    floor (50617.5)     		ty = 50617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48779 / 50617 ti = "16/48779/50617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48779/50617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48779 ÷ 216
    48779 ÷ 65536     		x = 0.744308471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50617 ÷ 216
    50617 ÷ 65536     		y = 0.772354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744308471679688 × 2 - 1) × π
    0.488616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53503540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772354125976562 × 2 - 1) × π
    -0.544708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71125144263676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53503540} λ = 1.53503540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71125144263676))-π/2
    2×atan(0.180639591021391)-π/2
    2×0.178712387693234-π/2
    0.357424775386469-1.57079632675     		φ = -1.21337155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53503540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.951050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21337155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.521069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48779 KachelY 50617 1.53503540 -1.21337155 87.951050 -69.521069
    Oben rechts KachelX + 1 48780 KachelY 50617 1.53513127 -1.21337155 87.956543 -69.521069
    Unten links KachelX 48779 KachelY + 1 50618 1.53503540 -1.21340509 87.951050 -69.522990
    Unten rechts KachelX + 1 48780 KachelY + 1 50618 1.53513127 -1.21340509 87.956543 -69.522990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21337155--1.21340509) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21337155--1.21340509) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53503540-1.53513127) × cos(-1.21337155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349862924620089 × 6371000     		do = 213.691995534378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53503540-1.53513127) × cos(-1.21340509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349831504120985 × 6371000     		du = 213.672804277797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21337155)-sin(-1.21340509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349862924620089-0.349831504120985)×R²
    abs(1.53513127-1.53503540)×3.14204991044842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14204991044842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14204991044842e-05×40589641000000     		ar = 45660.3689153747m²