Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48776 / 81288
↖ ↑ ↗
← S 39.656456°
W 46.032715°		 ← 235.14 m → S 39.656456°
W 46.029968°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
S 39.658570°
W 46.032715°		 ← 235.14 m →
55 279 m²		 S 39.658570°
W 46.029968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372135162353516 y=0.620182037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372135162353516 × 217)
    floor (0.372135162353516 × 131072)
    floor (48776.5)     		tx = 48776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620182037353516 × 217)
    floor (0.620182037353516 × 131072)
    floor (81288.5)     		ty = 81288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48776 / 81288 ti = "17/48776/81288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48776/81288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48776 ÷ 217
    48776 ÷ 131072     		x = 0.37213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81288 ÷ 217
    81288 ÷ 131072     		y = 0.62017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80342244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.755102042815124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80342244} λ = -0.80342244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755102042815124))-π/2
    2×atan(0.469962655971237)-π/2
    2×0.439330299549628-π/2
    0.878660599099255-1.57079632675     		φ = -0.69213573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80342244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69213573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.656456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48776 KachelY 81288 -0.80342244 -0.69213573 -46.032715 -39.656456
    Oben rechts KachelX + 1 48777 KachelY 81288 -0.80337450 -0.69213573 -46.029968 -39.656456
    Unten links KachelX 48776 KachelY + 1 81289 -0.80342244 -0.69217263 -46.032715 -39.658570
    Unten rechts KachelX + 1 48777 KachelY + 1 81289 -0.80337450 -0.69217263 -46.029968 -39.658570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69213573--0.69217263) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69213573--0.69217263) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80342244--0.80337450) × cos(-0.69213573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769884785516426 × 6371000     		do = 235.142630330942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80342244--0.80337450) × cos(-0.69217263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769861236043188 × 6371000     		du = 235.135437715651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69213573)-sin(-0.69217263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769884785516426-0.769861236043188)×R²
    abs(-0.80337450--0.80342244)×2.35494732380159e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35494732380159e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35494732380159e-05×40589641000000     		ar = 55278.8120009143m²