Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48775 / 81250
↖ ↑ ↗
← S 39.576056°
W 46.035461°		 ← 235.37 m → S 39.576056°
W 46.032715°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
S 39.578174°
W 46.035461°		 ← 235.36 m →
55 406 m²		 S 39.578174°
W 46.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372127532958984 y=0.619892120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372127532958984 × 217)
    floor (0.372127532958984 × 131072)
    floor (48775.5)     		tx = 48775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619892120361328 × 217)
    floor (0.619892120361328 × 131072)
    floor (81250.5)     		ty = 81250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48775 / 81250 ti = "17/48775/81250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48775/81250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48775 ÷ 217
    48775 ÷ 131072     		x = 0.372123718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81250 ÷ 217
    81250 ÷ 131072     		y = 0.619888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372123718261719 × 2 - 1) × π
    -0.255752563476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80347037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619888305664062 × 2 - 1) × π
    -0.239776611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.753280440629562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80347037} λ = -0.80347037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753280440629562))-π/2
    2×atan(0.470819521169306)-π/2
    2×0.440031918967535-π/2
    0.88006383793507-1.57079632675     		φ = -0.69073249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80347037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.035461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69073249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.576056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48775 KachelY 81250 -0.80347037 -0.69073249 -46.035461 -39.576056
    Oben rechts KachelX + 1 48776 KachelY 81250 -0.80342244 -0.69073249 -46.032715 -39.576056
    Unten links KachelX 48775 KachelY + 1 81251 -0.80347037 -0.69076944 -46.035461 -39.578174
    Unten rechts KachelX + 1 48776 KachelY + 1 81251 -0.80342244 -0.69076944 -46.032715 -39.578174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69073249--0.69076944) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dl = 235.408449999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69073249--0.69076944) × R
    3.69499999999245e-05 × 6371000     		dr = 235.408449999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80347037--0.80342244) × cos(-0.69073249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770779551015419 × 6371000     		do = 235.366808380701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80347037--0.80342244) × cos(-0.69076944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770756009572516 × 6371000     		du = 235.359619717907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69073249)-sin(-0.69076944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770779551015419-0.770756009572516)×R²
    abs(-0.80342244--0.80347037)×2.35414429029523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35414429029523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35414429029523e-05×40589641000000     		ar = 55406.4894125964m²