Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48775 / 51334
↖ ↑ ↗
← S 70.855485°
E 87.929077°		 ← 200.33 m → S 70.855485°
E 87.934570°		 →
↑
200.30 m
↓
↑
200.30 m
↓
S 70.857286°
E 87.929077°		 ← 200.31 m →
40 125 m²		 S 70.857286°
E 87.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744255065917969 y=0.783302307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744255065917969 × 216)
    floor (0.744255065917969 × 65536)
    floor (48775.5)     		tx = 48775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783302307128906 × 216)
    floor (0.783302307128906 × 65536)
    floor (51334.5)     		ty = 51334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48775 / 51334 ti = "16/48775/51334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48775/51334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48775 ÷ 216
    48775 ÷ 65536     		x = 0.744247436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51334 ÷ 216
    51334 ÷ 65536     		y = 0.783294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744247436523438 × 2 - 1) × π
    0.488494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53465190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.56658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77999295669193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53465190} λ = 1.53465190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77999295669193))-π/2
    2×atan(0.168639335043203)-π/2
    2×0.167067414285336-π/2
    0.334134828570672-1.57079632675     		φ = -1.23666150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53465190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.929077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23666150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.855485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48775 KachelY 51334 1.53465190 -1.23666150 87.929077 -70.855485
    Oben rechts KachelX + 1 48776 KachelY 51334 1.53474778 -1.23666150 87.934570 -70.855485
    Unten links KachelX 48775 KachelY + 1 51335 1.53465190 -1.23669294 87.929077 -70.857286
    Unten rechts KachelX + 1 48776 KachelY + 1 51335 1.53474778 -1.23669294 87.934570 -70.857286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23666150--1.23669294) × R
    3.14399999998827e-05 × 6371000     		dl = 200.304239999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23666150--1.23669294) × R
    3.14399999998827e-05 × 6371000     		dr = 200.304239999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53465190-1.53474778) × cos(-1.23666150) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327951968435409 × 6371000     		do = 200.329945287552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53465190-1.53474778) × cos(-1.23669294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.327922267081442 × 6371000     		du = 200.311802171523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23666150)-sin(-1.23669294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327951968435409-0.327922267081442)×R²
    abs(1.53474778-1.53465190)×2.97013539671265e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97013539671265e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97013539671265e-05×40589641000000     		ar = 40125.1203717624m²