Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48771 / 82226
↖ ↑ ↗
← S 41.611335°
W 46.046448°		 ← 228.31 m → S 41.611335°
W 46.043701°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.613389°
W 46.046448°		 ← 228.30 m →
52 130 m²		 S 41.613389°
W 46.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372097015380859 y=0.627338409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372097015380859 × 217)
    floor (0.372097015380859 × 131072)
    floor (48771.5)     		tx = 48771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627338409423828 × 217)
    floor (0.627338409423828 × 131072)
    floor (82226.5)     		ty = 82226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48771 / 82226 ti = "17/48771/82226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48771/82226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48771 ÷ 217
    48771 ÷ 131072     		x = 0.372093200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82226 ÷ 217
    82226 ÷ 131072     		y = 0.627334594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372093200683594 × 2 - 1) × π
    -0.255813598632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.80366212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627334594726562 × 2 - 1) × π
    -0.254669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800066854658737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80366212} λ = -0.80366212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800066854658737))-π/2
    2×atan(0.449298925386791)-π/2
    2×0.422270758970033-π/2
    0.844541517940066-1.57079632675     		φ = -0.72625481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80366212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.046448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72625481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.611335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48771 KachelY 82226 -0.80366212 -0.72625481 -46.046448 -41.611335
    Oben rechts KachelX + 1 48772 KachelY 82226 -0.80361419 -0.72625481 -46.043701 -41.611335
    Unten links KachelX 48771 KachelY + 1 82227 -0.80366212 -0.72629065 -46.046448 -41.613389
    Unten rechts KachelX + 1 48772 KachelY + 1 82227 -0.80361419 -0.72629065 -46.043701 -41.613389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72625481--0.72629065) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72625481--0.72629065) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80366212--0.80361419) × cos(-0.72625481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747666723925615 × 6371000     		do = 228.309028581515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80366212--0.80361419) × cos(-0.72629065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747642923028076 × 6371000     		du = 228.301760691127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72625481)-sin(-0.72629065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747666723925615-0.747642923028076)×R²
    abs(-0.80361419--0.80366212)×2.38008975393944e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38008975393944e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38008975393944e-05×40589641000000     		ar = 52130.4867108212m²