Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48770 / 81381
↖ ↑ ↗
← S 39.852829°
W 46.049194°		 ← 234.47 m → S 39.852829°
W 46.046448°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 39.854938°
W 46.049194°		 ← 234.47 m →
54 972 m²		 S 39.854938°
W 46.046448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372089385986328 y=0.620891571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372089385986328 × 217)
    floor (0.372089385986328 × 131072)
    floor (48770.5)     		tx = 48770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620891571044922 × 217)
    floor (0.620891571044922 × 131072)
    floor (81381.5)     		ty = 81381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48770 / 81381 ti = "17/48770/81381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48770/81381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48770 ÷ 217
    48770 ÷ 131072     		x = 0.372085571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81381 ÷ 217
    81381 ÷ 131072     		y = 0.620887756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.255828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80371006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620887756347656 × 2 - 1) × π
    -0.241775512695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.75956017447979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80371006} λ = -0.80371006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75956017447979))-π/2
    2×atan(0.4678721638803)-π/2
    2×0.437616617994921-π/2
    0.875233235989841-1.57079632675     		φ = -0.69556309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80371006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.049194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69556309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.852829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48770 KachelY 81381 -0.80371006 -0.69556309 -46.049194 -39.852829
    Oben rechts KachelX + 1 48771 KachelY 81381 -0.80366212 -0.69556309 -46.046448 -39.852829
    Unten links KachelX 48770 KachelY + 1 81382 -0.80371006 -0.69559989 -46.049194 -39.854938
    Unten rechts KachelX + 1 48771 KachelY + 1 81382 -0.80366212 -0.69559989 -46.046448 -39.854938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69556309--0.69559989) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dl = 234.452799999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69556309--0.69559989) × R
    3.6799999999948e-05 × 6371000     		dr = 234.452799999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80371006--0.80366212) × cos(-0.69556309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767692985410454 × 6371000     		do = 234.473198161644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80371006--0.80366212) × cos(-0.69559989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767669402794814 × 6371000     		du = 234.46599542381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69556309)-sin(-0.69559989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767692985410454-0.767669402794814)×R²
    abs(-0.80366212--0.80371006)×2.3582615640394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3582615640394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3582615640394e-05×40589641000000     		ar = 54972.0534889927m²