Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48769 / 81371
↖ ↑ ↗
← S 39.831741°
W 46.051941°		 ← 234.55 m → S 39.831741°
W 46.049194°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
S 39.833850°
W 46.051941°		 ← 234.54 m →
55 004 m²		 S 39.833850°
W 46.049194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372081756591797 y=0.620815277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372081756591797 × 217)
    floor (0.372081756591797 × 131072)
    floor (48769.5)     		tx = 48769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620815277099609 × 217)
    floor (0.620815277099609 × 131072)
    floor (81371.5)     		ty = 81371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48769 / 81371 ti = "17/48769/81371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48769/81371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48769 ÷ 217
    48769 ÷ 131072     		x = 0.372077941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81371 ÷ 217
    81371 ÷ 131072     		y = 0.620811462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372077941894531 × 2 - 1) × π
    -0.255844116210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80375800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620811462402344 × 2 - 1) × π
    -0.241622924804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.759080805483589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80375800} λ = -0.80375800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759080805483589))-π/2
    2×atan(0.468096501055697)-π/2
    2×0.437800650363385-π/2
    0.875601300726769-1.57079632675     		φ = -0.69519503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80375800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.051941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69519503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.831741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48769 KachelY 81371 -0.80375800 -0.69519503 -46.051941 -39.831741
    Oben rechts KachelX + 1 48770 KachelY 81371 -0.80371006 -0.69519503 -46.049194 -39.831741
    Unten links KachelX 48769 KachelY + 1 81372 -0.80375800 -0.69523184 -46.051941 -39.833850
    Unten rechts KachelX + 1 48770 KachelY + 1 81372 -0.80371006 -0.69523184 -46.049194 -39.833850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69519503--0.69523184) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69519503--0.69523184) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80375800--0.80371006) × cos(-0.69519503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767928792813474 × 6371000     		do = 234.545219812208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80375800--0.80371006) × cos(-0.69523184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767905214191737 × 6371000     		du = 234.538018294216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69519503)-sin(-0.69523184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767928792813474-0.767905214191737)×R²
    abs(-0.80371006--0.80375800)×2.35786217371858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35786217371858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35786217371858e-05×40589641000000     		ar = 55003.8819562884m²