Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48762 / 51085
↖ ↑ ↗
← S 70.401821°
E 87.857666°		 ← 204.87 m → S 70.401821°
E 87.863159°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 70.403663°
E 87.857666°		 ← 204.85 m →
41 974 m²		 S 70.403663°
E 87.863159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744056701660156 y=0.779502868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744056701660156 × 216)
    floor (0.744056701660156 × 65536)
    floor (48762.5)     		tx = 48762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779502868652344 × 216)
    floor (0.779502868652344 × 65536)
    floor (51085.5)     		ty = 51085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48762 / 51085 ti = "16/48762/51085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48762/51085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48762 ÷ 216
    48762 ÷ 65536     		x = 0.744049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51085 ÷ 216
    51085 ÷ 65536     		y = 0.779495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744049072265625 × 2 - 1) × π
    0.48809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53340555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779495239257812 × 2 - 1) × π
    -0.558990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75612038068114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53340555} λ = 1.53340555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75612038068114))-π/2
    2×atan(0.172713628838463)-π/2
    2×0.171026376818544-π/2
    0.342052753637088-1.57079632675     		φ = -1.22874357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53340555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.857666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22874357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.401821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48762 KachelY 51085 1.53340555 -1.22874357 87.857666 -70.401821
    Oben rechts KachelX + 1 48763 KachelY 51085 1.53350142 -1.22874357 87.863159 -70.401821
    Unten links KachelX 48762 KachelY + 1 51086 1.53340555 -1.22877573 87.857666 -70.403663
    Unten rechts KachelX + 1 48763 KachelY + 1 51086 1.53350142 -1.22877573 87.863159 -70.403663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22874357--1.22877573) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22874357--1.22877573) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53340555-1.53350142) × cos(-1.22874357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33542163420182 × 6371000     		do = 204.871431963881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53340555-1.53350142) × cos(-1.22877573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.335391337117892 × 6371000     		du = 204.852926875551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22874357)-sin(-1.22877573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33542163420182-0.335391337117892)×R²
    abs(1.53350142-1.53340555)×3.02970839284322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.02970839284322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.02970839284322e-05×40589641000000     		ar = 41974.4905577184m²