Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48761 / 81285
↖ ↑ ↗
← S 39.650112°
W 46.073914°		 ← 235.16 m → S 39.650112°
W 46.071167°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 39.652227°
W 46.073914°		 ← 235.16 m →
55 299 m²		 S 39.652227°
W 46.071167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372020721435547 y=0.620159149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372020721435547 × 217)
    floor (0.372020721435547 × 131072)
    floor (48761.5)     		tx = 48761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620159149169922 × 217)
    floor (0.620159149169922 × 131072)
    floor (81285.5)     		ty = 81285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48761 / 81285 ti = "17/48761/81285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48761/81285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48761 ÷ 217
    48761 ÷ 131072     		x = 0.372016906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81285 ÷ 217
    81285 ÷ 131072     		y = 0.620155334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372016906738281 × 2 - 1) × π
    -0.255966186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80414149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620155334472656 × 2 - 1) × π
    -0.240310668945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.754958232116264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80414149} λ = -0.80414149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754958232116264))-π/2
    2×atan(0.470030246489234)-π/2
    2×0.43938566092457-π/2
    0.87877132184914-1.57079632675     		φ = -0.69202500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80414149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.073914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69202500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.650112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48761 KachelY 81285 -0.80414149 -0.69202500 -46.073914 -39.650112
    Oben rechts KachelX + 1 48762 KachelY 81285 -0.80409355 -0.69202500 -46.071167 -39.650112
    Unten links KachelX 48761 KachelY + 1 81286 -0.80414149 -0.69206191 -46.073914 -39.652227
    Unten rechts KachelX + 1 48762 KachelY + 1 81286 -0.80409355 -0.69206191 -46.071167 -39.652227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69202500--0.69206191) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69202500--0.69206191) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80414149--0.80409355) × cos(-0.69202500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769955446789245 × 6371000     		do = 235.164212102482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80414149--0.80409355) × cos(-0.69206191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769931894080543 × 6371000     		du = 235.157018498997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69202500)-sin(-0.69206191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769955446789245-0.769931894080543)×R²
    abs(-0.80409355--0.80414149)×2.35527087015797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35527087015797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35527087015797e-05×40589641000000     		ar = 55298.8676240898m²