Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48761 / 51086
↖ ↑ ↗
← S 70.403663°
E 87.852173°		 ← 204.87 m → S 70.403663°
E 87.857666°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 70.405505°
E 87.852173°		 ← 204.86 m →
41 962 m²		 S 70.405505°
E 87.857666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744041442871094 y=0.779518127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744041442871094 × 216)
    floor (0.744041442871094 × 65536)
    floor (48761.5)     		tx = 48761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779518127441406 × 216)
    floor (0.779518127441406 × 65536)
    floor (51086.5)     		ty = 51086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48761 / 51086 ti = "16/48761/51086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48761/51086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48761 ÷ 216
    48761 ÷ 65536     		x = 0.744033813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51086 ÷ 216
    51086 ÷ 65536     		y = 0.779510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744033813476562 × 2 - 1) × π
    0.488067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53330967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.55902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75621625448038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53330967} λ = 1.53330967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75621625448038))-π/2
    2×atan(0.172697070920434)-π/2
    2×0.171010298471587-π/2
    0.342020596943173-1.57079632675     		φ = -1.22877573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53330967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22877573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.403663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48761 KachelY 51086 1.53330967 -1.22877573 87.852173 -70.403663
    Oben rechts KachelX + 1 48762 KachelY 51086 1.53340555 -1.22877573 87.857666 -70.403663
    Unten links KachelX 48761 KachelY + 1 51087 1.53330967 -1.22880788 87.852173 -70.405505
    Unten rechts KachelX + 1 48762 KachelY + 1 51087 1.53340555 -1.22880788 87.857666 -70.405505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22877573--1.22880788) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22877573--1.22880788) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53330967-1.53340555) × cos(-1.22877573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335391337117892 × 6371000     		do = 204.874294657509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53330967-1.53340555) × cos(-1.22880788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.335361049107976 × 6371000     		du = 204.855793181826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22877573)-sin(-1.22880788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335391337117892-0.335361049107976)×R²
    abs(1.53340555-1.53330967)×3.02880099153358e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.02880099153358e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.02880099153358e-05×40589641000000     		ar = 41962.0255167682m²