Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48761 / 50907
↖ ↑ ↗
← S 70.071202°
E 87.852173°		 ← 208.21 m → S 70.071202°
E 87.857666°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 70.073075°
E 87.852173°		 ← 208.19 m →
43 348 m²		 S 70.073075°
E 87.857666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744041442871094 y=0.776786804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744041442871094 × 216)
    floor (0.744041442871094 × 65536)
    floor (48761.5)     		tx = 48761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776786804199219 × 216)
    floor (0.776786804199219 × 65536)
    floor (50907.5)     		ty = 50907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48761 / 50907 ti = "16/48761/50907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48761/50907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48761 ÷ 216
    48761 ÷ 65536     		x = 0.744033813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50907 ÷ 216
    50907 ÷ 65536     		y = 0.776779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744033813476562 × 2 - 1) × π
    0.488067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53330967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.553558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7390548444164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53330967} λ = 1.53330967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7390548444164))-π/2
    2×atan(0.175686373126243)-π/2
    2×0.173911566309279-π/2
    0.347823132618559-1.57079632675     		φ = -1.22297319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53330967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22297319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.071202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48761 KachelY 50907 1.53330967 -1.22297319 87.852173 -70.071202
    Oben rechts KachelX + 1 48762 KachelY 50907 1.53340555 -1.22297319 87.857666 -70.071202
    Unten links KachelX 48761 KachelY + 1 50908 1.53330967 -1.22300587 87.852173 -70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 48762 KachelY + 1 50908 1.53340555 -1.22300587 87.857666 -70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22297319--1.22300587) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dl = 208.204279999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22297319--1.22300587) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dr = 208.204279999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53330967-1.53340555) × cos(-1.22297319) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		do = 208.210016297766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53330967-1.53340555) × cos(-1.22300587) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 208.19124898361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22297319)-sin(-1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340852110725676-0.340821387522457)×R²
    abs(1.53340555-1.53330967)×3.07232032187299e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07232032187299e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07232032187299e-05×40589641000000     		ar = 43348.2628183913m²