Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48760 / 81758
↖ ↑ ↗
← S 40.643135°
W 46.076660°		 ← 231.75 m → S 40.643135°
W 46.073914°		 →
↑
231.78 m
↓
↑
231.78 m
↓
S 40.645220°
W 46.076660°		 ← 231.74 m →
53 714 m²		 S 40.645220°
W 46.073914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372013092041016 y=0.623767852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372013092041016 × 217)
    floor (0.372013092041016 × 131072)
    floor (48760.5)     		tx = 48760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623767852783203 × 217)
    floor (0.623767852783203 × 131072)
    floor (81758.5)     		ty = 81758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48760 / 81758 ti = "17/48760/81758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48760/81758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48760 ÷ 217
    48760 ÷ 131072     		x = 0.37200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81758 ÷ 217
    81758 ÷ 131072     		y = 0.623764038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80418943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.247528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.777632385636551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80418943} λ = -0.80418943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777632385636551))-π/2
    2×atan(0.459492625796326)-π/2
    2×0.430719896274244-π/2
    0.861439792548487-1.57079632675     		φ = -0.70935653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80418943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70935653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.643135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48760 KachelY 81758 -0.80418943 -0.70935653 -46.076660 -40.643135
    Oben rechts KachelX + 1 48761 KachelY 81758 -0.80414149 -0.70935653 -46.073914 -40.643135
    Unten links KachelX 48760 KachelY + 1 81759 -0.80418943 -0.70939291 -46.076660 -40.645220
    Unten rechts KachelX + 1 48761 KachelY + 1 81759 -0.80414149 -0.70939291 -46.073914 -40.645220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70935653--0.70939291) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dl = 231.77698000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70935653--0.70939291) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dr = 231.77698000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80418943--0.80414149) × cos(-0.70935653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75878115443696 × 6371000     		do = 231.751295591811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80418943--0.80414149) × cos(-0.70939291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758757457979984 × 6371000     		du = 231.744058083904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70935653)-sin(-0.70939291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75878115443696-0.758757457979984)×R²
    abs(-0.80414149--0.80418943)×2.36964569757525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36964569757525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36964569757525e-05×40589641000000     		ar = 53713.7766656258m²