Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48759 / 81239
↖ ↑ ↗
← S 39.552765°
W 46.079406°		 ← 235.45 m → S 39.552765°
W 46.076660°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 39.554883°
W 46.079406°		 ← 235.44 m →
55 440 m²		 S 39.554883°
W 46.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372005462646484 y=0.619808197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372005462646484 × 217)
    floor (0.372005462646484 × 131072)
    floor (48759.5)     		tx = 48759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619808197021484 × 217)
    floor (0.619808197021484 × 131072)
    floor (81239.5)     		ty = 81239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48759 / 81239 ti = "17/48759/81239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48759/81239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48759 ÷ 217
    48759 ÷ 131072     		x = 0.372001647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81239 ÷ 217
    81239 ÷ 131072     		y = 0.619804382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372001647949219 × 2 - 1) × π
    -0.255996704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80423736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619804382324219 × 2 - 1) × π
    -0.239608764648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.752753134733742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80423736} λ = -0.80423736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752753134733742))-π/2
    2×atan(0.471067852546232)-π/2
    2×0.440235171402118-π/2
    0.880470342804235-1.57079632675     		φ = -0.69032598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80423736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.079406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69032598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.552765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48759 KachelY 81239 -0.80423736 -0.69032598 -46.079406 -39.552765
    Oben rechts KachelX + 1 48760 KachelY 81239 -0.80418943 -0.69032598 -46.076660 -39.552765
    Unten links KachelX 48759 KachelY + 1 81240 -0.80423736 -0.69036294 -46.079406 -39.554883
    Unten rechts KachelX + 1 48760 KachelY + 1 81240 -0.80418943 -0.69036294 -46.076660 -39.554883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69032598--0.69036294) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69032598--0.69036294) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80423736--0.80418943) × cos(-0.69032598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771038475632679 × 6371000     		do = 235.445874127444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80423736--0.80418943) × cos(-0.69036294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771014939400902 × 6371000     		du = 235.438687055931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69032598)-sin(-0.69036294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771038475632679-0.771014939400902)×R²
    abs(-0.80418943--0.80423736)×2.35362317769772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35362317769772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35362317769772e-05×40589641000000     		ar = 55440.1023725532m²