Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48758 / 51050
↖ ↑ ↗
← S 70.337231°
E 87.835693°		 ← 205.52 m → S 70.337231°
E 87.841186°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 70.339079°
E 87.835693°		 ← 205.50 m →
42 238 m²		 S 70.339079°
E 87.841186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743995666503906 y=0.778968811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743995666503906 × 216)
    floor (0.743995666503906 × 65536)
    floor (48758.5)     		tx = 48758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778968811035156 × 216)
    floor (0.778968811035156 × 65536)
    floor (51050.5)     		ty = 51050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48758 / 51050 ti = "16/48758/51050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48758/51050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48758 ÷ 216
    48758 ÷ 65536     		x = 0.743988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51050 ÷ 216
    51050 ÷ 65536     		y = 0.778961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743988037109375 × 2 - 1) × π
    0.48797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53302205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.55792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75276479770773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53302205} λ = 1.53302205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75276479770773))-π/2
    2×atan(0.173294157211504)-π/2
    2×0.171590034701566-π/2
    0.343180069403133-1.57079632675     		φ = -1.22761626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53302205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.835693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22761626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.337231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48758 KachelY 51050 1.53302205 -1.22761626 87.835693 -70.337231
    Oben rechts KachelX + 1 48759 KachelY 51050 1.53311792 -1.22761626 87.841186 -70.337231
    Unten links KachelX 48758 KachelY + 1 51051 1.53302205 -1.22764852 87.835693 -70.339079
    Unten rechts KachelX + 1 48759 KachelY + 1 51051 1.53311792 -1.22764852 87.841186 -70.339079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22761626--1.22764852) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22761626--1.22764852) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53302205-1.53311792) × cos(-1.22761626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336483423648467 × 6371000     		do = 205.519959972208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53302205-1.53311792) × cos(-1.22764852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336453044573689 × 6371000     		du = 205.501404804869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22761626)-sin(-1.22764852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336483423648467-0.336453044573689)×R²
    abs(1.53311792-1.53302205)×3.0379074778708e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0379074778708e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0379074778708e-05×40589641000000     		ar = 42238.2940687123m²