Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48756 / 81276
↖ ↑ ↗
← S 39.631077°
W 46.087647°		 ← 235.23 m → S 39.631077°
W 46.084900°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 39.633192°
W 46.087647°		 ← 235.22 m →
55 314 m²		 S 39.633192°
W 46.084900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371982574462891 y=0.620090484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371982574462891 × 217)
    floor (0.371982574462891 × 131072)
    floor (48756.5)     		tx = 48756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620090484619141 × 217)
    floor (0.620090484619141 × 131072)
    floor (81276.5)     		ty = 81276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48756 / 81276 ti = "17/48756/81276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48756/81276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48756 ÷ 217
    48756 ÷ 131072     		x = 0.371978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81276 ÷ 217
    81276 ÷ 131072     		y = 0.620086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80438118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.24017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754526800019684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80438118} λ = -0.80438118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754526800019684))-π/2
    2×atan(0.470233076374448)-π/2
    2×0.439551775531453-π/2
    0.879103551062906-1.57079632675     		φ = -0.69169278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80438118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.087647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69169278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.631077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48756 KachelY 81276 -0.80438118 -0.69169278 -46.087647 -39.631077
    Oben rechts KachelX + 1 48757 KachelY 81276 -0.80433324 -0.69169278 -46.084900 -39.631077
    Unten links KachelX 48756 KachelY + 1 81277 -0.80438118 -0.69172969 -46.087647 -39.633192
    Unten rechts KachelX + 1 48757 KachelY + 1 81277 -0.80433324 -0.69172969 -46.084900 -39.633192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69169278--0.69172969) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69169278--0.69172969) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80438118--0.80433324) × cos(-0.69169278) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.770167393096334 × 6371000     		do = 235.228945960709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80438118--0.80433324) × cos(-0.69172969) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.770143849830166 × 6371000     		du = 235.221755241218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69169278)-sin(-0.69172969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770167393096334-0.770143849830166)×R²
    abs(-0.80433324--0.80438118)×2.35432661677137e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35432661677137e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35432661677137e-05×40589641000000     		ar = 55314.090363483m²