Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48756 / 81260
↖ ↑ ↗
← S 39.597223°
W 46.087647°		 ← 235.34 m → S 39.597223°
W 46.084900°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 39.599340°
W 46.087647°		 ← 235.34 m →
55 386 m²		 S 39.599340°
W 46.084900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371982574462891 y=0.619968414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371982574462891 × 217)
    floor (0.371982574462891 × 131072)
    floor (48756.5)     		tx = 48756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619968414306641 × 217)
    floor (0.619968414306641 × 131072)
    floor (81260.5)     		ty = 81260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48756 / 81260 ti = "17/48756/81260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48756/81260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48756 ÷ 217
    48756 ÷ 131072     		x = 0.371978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81260 ÷ 217
    81260 ÷ 131072     		y = 0.619964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80438118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.23992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.753759809625763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80438118} λ = -0.80438118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753759809625763))-π/2
    2×atan(0.470593878975308)-π/2
    2×0.439847203269894-π/2
    0.879694406539788-1.57079632675     		φ = -0.69110192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80438118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.087647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69110192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.597223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48756 KachelY 81260 -0.80438118 -0.69110192 -46.087647 -39.597223
    Oben rechts KachelX + 1 48757 KachelY 81260 -0.80433324 -0.69110192 -46.084900 -39.597223
    Unten links KachelX 48756 KachelY + 1 81261 -0.80438118 -0.69113886 -46.087647 -39.599340
    Unten rechts KachelX + 1 48757 KachelY + 1 81261 -0.80433324 -0.69113886 -46.084900 -39.599340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69110192--0.69113886) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69110192--0.69113886) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80438118--0.80433324) × cos(-0.69110192) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.770544133853134 × 6371000     		do = 235.344012285143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80438118--0.80433324) × cos(-0.69113886) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.77052058826467 × 6371000     		du = 235.336820856363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69110192)-sin(-0.69113886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770544133853134-0.77052058826467)×R²
    abs(-0.80433324--0.80438118)×2.35455884634028e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35455884634028e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35455884634028e-05×40589641000000     		ar = 55386.1291556017m²