Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48752 / 81360
↖ ↑ ↗
← S 39.808536°
W 46.098633°		 ← 234.58 m → S 39.808536°
W 46.095886°		 →
↑
234.64 m
↓
↑
234.64 m
↓
S 39.810646°
W 46.098633°		 ← 234.57 m →
55 041 m²		 S 39.810646°
W 46.095886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371952056884766 y=0.620731353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371952056884766 × 217)
    floor (0.371952056884766 × 131072)
    floor (48752.5)     		tx = 48752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620731353759766 × 217)
    floor (0.620731353759766 × 131072)
    floor (81360.5)     		ty = 81360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48752 / 81360 ti = "17/48752/81360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48752/81360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48752 ÷ 217
    48752 ÷ 131072     		x = 0.3719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81360 ÷ 217
    81360 ÷ 131072     		y = 0.6207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80457292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.758553499587769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80457292} λ = -0.80457292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758553499587769))-π/2
    2×atan(0.468343396189426)-π/2
    2×0.438003151244745-π/2
    0.876006302489491-1.57079632675     		φ = -0.69479002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80457292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69479002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.808536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48752 KachelY 81360 -0.80457292 -0.69479002 -46.098633 -39.808536
    Oben rechts KachelX + 1 48753 KachelY 81360 -0.80452499 -0.69479002 -46.095886 -39.808536
    Unten links KachelX 48752 KachelY + 1 81361 -0.80457292 -0.69482685 -46.098633 -39.810646
    Unten rechts KachelX + 1 48753 KachelY + 1 81361 -0.80452499 -0.69482685 -46.095886 -39.810646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69479002--0.69482685) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dl = 234.643929999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69479002--0.69482685) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dr = 234.643929999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80457292--0.80452499) × cos(-0.69479002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768188152993315 × 6371000     		do = 234.575493820133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80457292--0.80452499) × cos(-0.69482685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76816457301689 × 6371000     		du = 234.568293390664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69479002)-sin(-0.69482685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768188152993315-0.76816457301689)×R²
    abs(-0.80452499--0.80457292)×2.35799764246591e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35799764246591e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35799764246591e-05×40589641000000     		ar = 55040.8709894372m²