Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48752 / 81265
↖ ↑ ↗
← S 39.607804°
W 46.098633°		 ← 235.26 m → S 39.607804°
W 46.095886°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 39.609920°
W 46.098633°		 ← 235.25 m →
55 351 m²		 S 39.609920°
W 46.095886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371952056884766 y=0.620006561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371952056884766 × 217)
    floor (0.371952056884766 × 131072)
    floor (48752.5)     		tx = 48752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620006561279297 × 217)
    floor (0.620006561279297 × 131072)
    floor (81265.5)     		ty = 81265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48752 / 81265 ti = "17/48752/81265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48752/81265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48752 ÷ 217
    48752 ÷ 131072     		x = 0.3719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81265 ÷ 217
    81265 ÷ 131072     		y = 0.620002746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80457292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620002746582031 × 2 - 1) × π
    -0.240005493164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.753999494123863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80457292} λ = -0.80457292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753999494123863))-π/2
    2×atan(0.470481098434031)-π/2
    2×0.439754866581841-π/2
    0.879509733163682-1.57079632675     		φ = -0.69128659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80457292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69128659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.607804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48752 KachelY 81265 -0.80457292 -0.69128659 -46.098633 -39.607804
    Oben rechts KachelX + 1 48753 KachelY 81265 -0.80452499 -0.69128659 -46.095886 -39.607804
    Unten links KachelX 48752 KachelY + 1 81266 -0.80457292 -0.69132352 -46.098633 -39.609920
    Unten rechts KachelX + 1 48753 KachelY + 1 81266 -0.80452499 -0.69132352 -46.095886 -39.609920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69128659--0.69132352) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dl = 235.281029999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69128659--0.69132352) × R
    3.69299999999351e-05 × 6371000     		dr = 235.281029999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80457292--0.80452499) × cos(-0.69128659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770426414522763 × 6371000     		do = 235.258973904436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80457292--0.80452499) × cos(-0.69132352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770402870053927 × 6371000     		du = 235.251784317637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69128659)-sin(-0.69132352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770426414522763-0.770402870053927)×R²
    abs(-0.80452499--0.80457292)×2.3544468836123e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3544468836123e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3544468836123e-05×40589641000000     		ar = 55351.1279164557m²