Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48751 / 81359
↖ ↑ ↗
← S 39.806426°
W 46.101379°		 ← 234.63 m → S 39.806426°
W 46.098633°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.808536°
W 46.101379°		 ← 234.62 m →
55 039 m²		 S 39.808536°
W 46.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371944427490234 y=0.620723724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371944427490234 × 217)
    floor (0.371944427490234 × 131072)
    floor (48751.5)     		tx = 48751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620723724365234 × 217)
    floor (0.620723724365234 × 131072)
    floor (81359.5)     		ty = 81359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48751 / 81359 ti = "17/48751/81359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48751/81359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48751 ÷ 217
    48751 ÷ 131072     		x = 0.371940612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81359 ÷ 217
    81359 ÷ 131072     		y = 0.620719909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371940612792969 × 2 - 1) × π
    -0.256118774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80462086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620719909667969 × 2 - 1) × π
    -0.241439819335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.758505562688149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80462086} λ = -0.80462086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758505562688149))-π/2
    2×atan(0.468365847657919)-π/2
    2×0.438021563806407-π/2
    0.876043127612815-1.57079632675     		φ = -0.69475320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80462086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.101379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69475320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.806426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48751 KachelY 81359 -0.80462086 -0.69475320 -46.101379 -39.806426
    Oben rechts KachelX + 1 48752 KachelY 81359 -0.80457292 -0.69475320 -46.098633 -39.806426
    Unten links KachelX 48751 KachelY + 1 81360 -0.80462086 -0.69479002 -46.101379 -39.808536
    Unten rechts KachelX + 1 48752 KachelY + 1 81360 -0.80457292 -0.69479002 -46.098633 -39.808536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69475320--0.69479002) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69475320--0.69479002) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80462086--0.80457292) × cos(-0.69475320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768211725525773 × 6371000     		do = 234.631634745232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80462086--0.80457292) × cos(-0.69479002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768188152993315 × 6371000     		du = 234.624435087063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69475320)-sin(-0.69479002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768211725525773-0.768188152993315)×R²
    abs(-0.80457292--0.80462086)×2.35725324581049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35725324581049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35725324581049e-05×40589641000000     		ar = 55039.0960551093m²