Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48751 / 50897
↖ ↑ ↗
← S 70.052471°
E 87.797241°		 ← 208.40 m → S 70.052471°
E 87.802735°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 70.054345°
E 87.797241°		 ← 208.38 m →
43 427 m²		 S 70.054345°
E 87.802735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743888854980469 y=0.776634216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743888854980469 × 216)
    floor (0.743888854980469 × 65536)
    floor (48751.5)     		tx = 48751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776634216308594 × 216)
    floor (0.776634216308594 × 65536)
    floor (50897.5)     		ty = 50897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48751 / 50897 ti = "16/48751/50897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48751/50897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48751 ÷ 216
    48751 ÷ 65536     		x = 0.743881225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50897 ÷ 216
    50897 ÷ 65536     		y = 0.776626586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743881225585938 × 2 - 1) × π
    0.487762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53235093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.553253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.738096106424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53235093} λ = 1.53235093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.738096106424))-π/2
    2×atan(0.175854891096288)-π/2
    2×0.17407503389637-π/2
    0.34815006779274-1.57079632675     		φ = -1.22264626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53235093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.797241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22264626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.052471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48751 KachelY 50897 1.53235093 -1.22264626 87.797241 -70.052471
    Oben rechts KachelX + 1 48752 KachelY 50897 1.53244681 -1.22264626 87.802735 -70.052471
    Unten links KachelX 48751 KachelY + 1 50898 1.53235093 -1.22267897 87.797241 -70.054345
    Unten rechts KachelX + 1 48752 KachelY + 1 50898 1.53244681 -1.22267897 87.802735 -70.054345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22264626--1.22267897) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22264626--1.22267897) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53235093-1.53244681) × cos(-1.22264626) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		do = 208.397751852455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53235093-1.53244681) × cos(-1.22267897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341128697171287 × 6371000     		du = 208.378969537416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22264626)-sin(-1.22267897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341159444931838-0.341128697171287)×R²
    abs(1.53244681-1.53235093)×3.07477605503426e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07477605503426e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07477605503426e-05×40589641000000     		ar = 43427.1778700866m²