Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48749 / 81365
↖ ↑ ↗
← S 39.819085°
W 46.106872°		 ← 234.54 m → S 39.819085°
W 46.104126°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.821194°
W 46.106872°		 ← 234.53 m →
55 017 m²		 S 39.821194°
W 46.104126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371929168701172 y=0.620769500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371929168701172 × 217)
    floor (0.371929168701172 × 131072)
    floor (48749.5)     		tx = 48749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620769500732422 × 217)
    floor (0.620769500732422 × 131072)
    floor (81365.5)     		ty = 81365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48749 / 81365 ti = "17/48749/81365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48749/81365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48749 ÷ 217
    48749 ÷ 131072     		x = 0.371925354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81365 ÷ 217
    81365 ÷ 131072     		y = 0.620765686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371925354003906 × 2 - 1) × π
    -0.256149291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.80471673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620765686035156 × 2 - 1) × π
    -0.241531372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.758793184085869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80471673} λ = -0.80471673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758793184085869))-π/2
    2×atan(0.468231154989347)-π/2
    2×0.43791109691278-π/2
    0.875822193825559-1.57079632675     		φ = -0.69497413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80471673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.106872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69497413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.819085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48749 KachelY 81365 -0.80471673 -0.69497413 -46.106872 -39.819085
    Oben rechts KachelX + 1 48750 KachelY 81365 -0.80466880 -0.69497413 -46.104126 -39.819085
    Unten links KachelX 48749 KachelY + 1 81366 -0.80471673 -0.69501095 -46.106872 -39.821194
    Unten rechts KachelX + 1 48750 KachelY + 1 81366 -0.80466880 -0.69501095 -46.104126 -39.821194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69497413--0.69501095) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69497413--0.69501095) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80471673--0.80466880) × cos(-0.69497413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768070268306375 × 6371000     		do = 234.539496312823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80471673--0.80466880) × cos(-0.69501095) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76804668952546 × 6371000     		du = 234.532296248418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69497413)-sin(-0.69501095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768070268306375-0.76804668952546)×R²
    abs(-0.80466880--0.80471673)×2.35787809146348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35787809146348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35787809146348e-05×40589641000000     		ar = 55017.4821536059m²