Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48748 / 81376
↖ ↑ ↗
← S 39.842286°
W 46.109619°		 ← 234.51 m → S 39.842286°
W 46.106872°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
S 39.844395°
W 46.109619°		 ← 234.50 m →
54 995 m²		 S 39.844395°
W 46.106872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371921539306641 y=0.620853424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371921539306641 × 217)
    floor (0.371921539306641 × 131072)
    floor (48748.5)     		tx = 48748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620853424072266 × 217)
    floor (0.620853424072266 × 131072)
    floor (81376.5)     		ty = 81376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48748 / 81376 ti = "17/48748/81376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48748/81376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48748 ÷ 217
    48748 ÷ 131072     		x = 0.371917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81376 ÷ 217
    81376 ÷ 131072     		y = 0.620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80476467} λ = -0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759320489981689))-π/2
    2×atan(0.467984319025463)-π/2
    2×0.437708627114139-π/2
    0.875417254228278-1.57079632675     		φ = -0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48748 KachelY 81376 -0.80476467 -0.69537907 -46.109619 -39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 48749 KachelY 81376 -0.80471673 -0.69537907 -46.106872 -39.842286
    Unten links KachelX 48748 KachelY + 1 81377 -0.80476467 -0.69541588 -46.109619 -39.844395
    Unten rechts KachelX + 1 48749 KachelY + 1 81377 -0.80471673 -0.69541588 -46.106872 -39.844395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69537907--0.69541588) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69537907--0.69541588) × R
    3.68099999999982e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80476467--0.80471673) × cos(-0.69537907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 234.509211001201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80476467--0.80471673) × cos(-0.69541588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767787311883339 × 6371000     		du = 234.502007894426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69537907)-sin(-0.69541588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767787311883339)×R²
    abs(-0.80471673--0.80476467)×2.35838236011254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35838236011254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35838236011254e-05×40589641000000     		ar = 54995.437109314m²