Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48748 / 50894
↖ ↑ ↗
← S 70.046848°
E 87.780762°		 ← 208.45 m → S 70.046848°
E 87.786255°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
S 70.048722°
E 87.780762°		 ← 208.44 m →
43 452 m²		 S 70.048722°
E 87.786255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743843078613281 y=0.776588439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743843078613281 × 216)
    floor (0.743843078613281 × 65536)
    floor (48748.5)     		tx = 48748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776588439941406 × 216)
    floor (0.776588439941406 × 65536)
    floor (50894.5)     		ty = 50894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48748 / 50894 ti = "16/48748/50894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48748/50894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48748 ÷ 216
    48748 ÷ 65536     		x = 0.74383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50894 ÷ 216
    50894 ÷ 65536     		y = 0.776580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74383544921875 × 2 - 1) × π
    0.4876708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53206331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.55316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73780848502628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53206331} λ = 1.53206331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73780848502628))-π/2
    2×atan(0.17590547800045)-π/2
    2×0.174124102907614-π/2
    0.348248205815228-1.57079632675     		φ = -1.22254812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53206331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.780762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22254812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.046848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48748 KachelY 50894 1.53206331 -1.22254812 87.780762 -70.046848
    Oben rechts KachelX + 1 48749 KachelY 50894 1.53215919 -1.22254812 87.786255 -70.046848
    Unten links KachelX 48748 KachelY + 1 50895 1.53206331 -1.22258084 87.780762 -70.048722
    Unten rechts KachelX + 1 48749 KachelY + 1 50895 1.53215919 -1.22258084 87.786255 -70.048722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22254812--1.22258084) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22254812--1.22258084) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53206331-1.53215919) × cos(-1.22254812) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341251695422948 × 6371000     		do = 208.45410320148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53206331-1.53215919) × cos(-1.22258084) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341220939357841 × 6371000     		du = 208.435315813591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22254812)-sin(-1.22258084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341251695422948-0.341220939357841)×R²
    abs(1.53215919-1.53206331)×3.0756065106774e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0756065106774e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0756065106774e-05×40589641000000     		ar = 43452.2007166084m²