Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48747 / 81363
↖ ↑ ↗
← S 39.814865°
W 46.112366°		 ← 234.60 m → S 39.814865°
W 46.109619°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
S 39.816975°
W 46.112366°		 ← 234.60 m →
55 032 m²		 S 39.816975°
W 46.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371913909912109 y=0.620754241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371913909912109 × 217)
    floor (0.371913909912109 × 131072)
    floor (48747.5)     		tx = 48747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620754241943359 × 217)
    floor (0.620754241943359 × 131072)
    floor (81363.5)     		ty = 81363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48747 / 81363 ti = "17/48747/81363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48747/81363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48747 ÷ 217
    48747 ÷ 131072     		x = 0.371910095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81363 ÷ 217
    81363 ÷ 131072     		y = 0.620750427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371910095214844 × 2 - 1) × π
    -0.256179809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80481261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620750427246094 × 2 - 1) × π
    -0.241500854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.758697310286629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80481261} λ = -0.80481261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758697310286629))-π/2
    2×atan(0.468276048241107)-π/2
    2×0.437947916950267-π/2
    0.875895833900533-1.57079632675     		φ = -0.69490049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80481261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.112366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69490049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.814865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48747 KachelY 81363 -0.80481261 -0.69490049 -46.112366 -39.814865
    Oben rechts KachelX + 1 48748 KachelY 81363 -0.80476467 -0.69490049 -46.109619 -39.814865
    Unten links KachelX 48747 KachelY + 1 81364 -0.80481261 -0.69493731 -46.112366 -39.816975
    Unten rechts KachelX + 1 48748 KachelY + 1 81364 -0.80476467 -0.69493731 -46.109619 -39.816975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69490049--0.69493731) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69490049--0.69493731) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80481261--0.80476467) × cos(-0.69490049) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.768117422744325 × 6371000     		do = 234.602832248968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80481261--0.80476467) × cos(-0.69493731) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.768093846046007 × 6371000     		du = 234.595631318437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69490049)-sin(-0.69493731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768117422744325-0.768093846046007)×R²
    abs(-0.80476467--0.80481261)×2.35766983179841e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35766983179841e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35766983179841e-05×40589641000000     		ar = 55032.3394099565m²