Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48746 / 81390
↖ ↑ ↗
← S 39.871804°
W 46.115112°		 ← 234.36 m → S 39.871804°
W 46.112366°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 39.873911°
W 46.115112°		 ← 234.35 m →
54 930 m²		 S 39.873911°
W 46.112366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371906280517578 y=0.620960235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371906280517578 × 217)
    floor (0.371906280517578 × 131072)
    floor (48746.5)     		tx = 48746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620960235595703 × 217)
    floor (0.620960235595703 × 131072)
    floor (81390.5)     		ty = 81390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48746 / 81390 ti = "17/48746/81390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48746/81390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48746 ÷ 217
    48746 ÷ 131072     		x = 0.371902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81390 ÷ 217
    81390 ÷ 131072     		y = 0.620956420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371902465820312 × 2 - 1) × π
    -0.256195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80486054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620956420898438 × 2 - 1) × π
    -0.241912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.75999160657637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80486054} λ = -0.80486054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75999160657637))-π/2
    2×atan(0.467670352348822)-π/2
    2×0.437451037191012-π/2
    0.874902074382023-1.57079632675     		φ = -0.69589425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80486054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.115112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69589425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.871804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48746 KachelY 81390 -0.80486054 -0.69589425 -46.115112 -39.871804
    Oben rechts KachelX + 1 48747 KachelY 81390 -0.80481261 -0.69589425 -46.112366 -39.871804
    Unten links KachelX 48746 KachelY + 1 81391 -0.80486054 -0.69593104 -46.115112 -39.873911
    Unten rechts KachelX + 1 48747 KachelY + 1 81391 -0.80481261 -0.69593104 -46.112366 -39.873911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69589425--0.69593104) × R
    3.67899999998977e-05 × 6371000     		dl = 234.389089999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69589425--0.69593104) × R
    3.67899999998977e-05 × 6371000     		dr = 234.389089999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80486054--0.80481261) × cos(-0.69589425) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767480730089345 × 6371000     		do = 234.359473725565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80486054--0.80481261) × cos(-0.69593104) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767457144530509 × 6371000     		du = 234.35227159144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69589425)-sin(-0.69593104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767480730089345-0.767457144530509)×R²
    abs(-0.80481261--0.80486054)×2.35855588356371e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35855588356371e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35855588356371e-05×40589641000000     		ar = 54930.4597346231m²