Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48745 / 81042
↖ ↑ ↗
← S 39.134321°
W 46.117859°		 ← 236.91 m → S 39.134321°
W 46.115112°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
S 39.136452°
W 46.117859°		 ← 236.90 m →
56 117 m²		 S 39.136452°
W 46.115112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371898651123047 y=0.618305206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371898651123047 × 217)
    floor (0.371898651123047 × 131072)
    floor (48745.5)     		tx = 48745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618305206298828 × 217)
    floor (0.618305206298828 × 131072)
    floor (81042.5)     		ty = 81042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48745 / 81042 ti = "17/48745/81042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48745/81042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48745 ÷ 217
    48745 ÷ 131072     		x = 0.371894836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81042 ÷ 217
    81042 ÷ 131072     		y = 0.618301391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371894836425781 × 2 - 1) × π
    -0.256210327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80490848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618301391601562 × 2 - 1) × π
    -0.236602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.743309565508591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80490848} λ = -0.80490848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743309565508591))-π/2
    2×atan(0.475537485850105)-π/2
    2×0.443886785274109-π/2
    0.887773570548217-1.57079632675     		φ = -0.68302276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80490848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.117859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68302276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.134321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48745 KachelY 81042 -0.80490848 -0.68302276 -46.117859 -39.134321
    Oben rechts KachelX + 1 48746 KachelY 81042 -0.80486054 -0.68302276 -46.115112 -39.134321
    Unten links KachelX 48745 KachelY + 1 81043 -0.80490848 -0.68305994 -46.117859 -39.136452
    Unten rechts KachelX + 1 48746 KachelY + 1 81043 -0.80486054 -0.68305994 -46.115112 -39.136452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68302276--0.68305994) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68302276--0.68305994) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80490848--0.80486054) × cos(-0.68302276) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.775668478875511 × 6371000     		do = 236.909119155621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80490848--0.80486054) × cos(-0.68305994) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.775645012533242 × 6371000     		du = 236.901951930668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68302276)-sin(-0.68305994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775668478875511-0.775645012533242)×R²
    abs(-0.80486054--0.80490848)×2.34663422686854e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34663422686854e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34663422686854e-05×40589641000000     		ar = 56116.709713438m²