Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48744 / 50908
↖ ↑ ↗
← S 70.073075°
E 87.758789°		 ← 208.17 m → S 70.073075°
E 87.764282°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 70.074947°
E 87.758789°		 ← 208.15 m →
43 340 m²		 S 70.074947°
E 87.764282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743782043457031 y=0.776802062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743782043457031 × 216)
    floor (0.743782043457031 × 65536)
    floor (48744.5)     		tx = 48744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776802062988281 × 216)
    floor (0.776802062988281 × 65536)
    floor (50908.5)     		ty = 50908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48744 / 50908 ti = "16/48744/50908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48744/50908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48744 ÷ 216
    48744 ÷ 65536     		x = 0.7437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50908 ÷ 216
    50908 ÷ 65536     		y = 0.77679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    0.487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53167982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.5535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53167982} λ = 1.53167982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73915071821564))-π/2
    2×atan(0.175669530213586)-π/2
    2×0.173895227652387-π/2
    0.347790455304774-1.57079632675     		φ = -1.22300587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53167982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.758789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22300587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.073075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48744 KachelY 50908 1.53167982 -1.22300587 87.758789 -70.073075
    Oben rechts KachelX + 1 48745 KachelY 50908 1.53177569 -1.22300587 87.764282 -70.073075
    Unten links KachelX 48744 KachelY + 1 50909 1.53167982 -1.22303855 87.758789 -70.074947
    Unten rechts KachelX + 1 48745 KachelY + 1 50909 1.53177569 -1.22303855 87.764282 -70.074947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22300587--1.22303855) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22300587--1.22303855) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53167982-1.53177569) × cos(-1.22300587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		do = 208.169535253143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53167982-1.53177569) × cos(-1.22303855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340790663955247 × 6371000     		du = 208.15076967404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22300587)-sin(-1.22303855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340821387522457-0.340790663955247)×R²
    abs(1.53177569-1.53167982)×3.07235672102335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07235672102335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07235672102335e-05×40589641000000     		ar = 43339.8346724373m²