Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48743 / 81148
↖ ↑ ↗
← S 39.359786°
W 46.123352°		 ← 236.15 m → S 39.359786°
W 46.120606°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
S 39.361909°
W 46.123352°		 ← 236.14 m →
55 756 m²		 S 39.361909°
W 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371883392333984 y=0.619113922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371883392333984 × 217)
    floor (0.371883392333984 × 131072)
    floor (48743.5)     		tx = 48743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619113922119141 × 217)
    floor (0.619113922119141 × 131072)
    floor (81148.5)     		ty = 81148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48743 / 81148 ti = "17/48743/81148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48743/81148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48743 ÷ 217
    48743 ÷ 131072     		x = 0.371879577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81148 ÷ 217
    81148 ÷ 131072     		y = 0.619110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371879577636719 × 2 - 1) × π
    -0.256240844726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.80500436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.23822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.748390876868317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80500436} λ = -0.80500436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748390876868317))-π/2
    2×atan(0.473127260559797)-π/2
    2×0.441919240497417-π/2
    0.883838480994834-1.57079632675     		φ = -0.68695785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80500436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.123352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68695785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.359786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48743 KachelY 81148 -0.80500436 -0.68695785 -46.123352 -39.359786
    Oben rechts KachelX + 1 48744 KachelY 81148 -0.80495642 -0.68695785 -46.120606 -39.359786
    Unten links KachelX 48743 KachelY + 1 81149 -0.80500436 -0.68699491 -46.123352 -39.361909
    Unten rechts KachelX + 1 48744 KachelY + 1 81149 -0.80495642 -0.68699491 -46.120606 -39.361909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68695785--0.68699491) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68695785--0.68699491) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80500436--0.80495642) × cos(-0.68695785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773178884785668 × 6371000     		do = 236.148733037882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80500436--0.80495642) × cos(-0.68699491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773155381247645 × 6371000     		du = 236.141554452389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68695785)-sin(-0.68699491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773178884785668-0.773155381247645)×R²
    abs(-0.80495642--0.80500436)×2.35035380223847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35035380223847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35035380223847e-05×40589641000000     		ar = 55756.0551488513m²