Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48743 / 50907
↖ ↑ ↗
← S 70.071202°
E 87.753296°		 ← 208.21 m → S 70.071202°
E 87.758789°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 70.073075°
E 87.753296°		 ← 208.19 m →
43 348 m²		 S 70.073075°
E 87.758789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743766784667969 y=0.776786804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743766784667969 × 216)
    floor (0.743766784667969 × 65536)
    floor (48743.5)     		tx = 48743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776786804199219 × 216)
    floor (0.776786804199219 × 65536)
    floor (50907.5)     		ty = 50907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48743 / 50907 ti = "16/48743/50907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48743/50907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48743 ÷ 216
    48743 ÷ 65536     		x = 0.743759155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50907 ÷ 216
    50907 ÷ 65536     		y = 0.776779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743759155273438 × 2 - 1) × π
    0.487518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53158394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.553558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7390548444164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53158394} λ = 1.53158394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7390548444164))-π/2
    2×atan(0.175686373126243)-π/2
    2×0.173911566309279-π/2
    0.347823132618559-1.57079632675     		φ = -1.22297319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53158394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.753296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22297319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.071202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48743 KachelY 50907 1.53158394 -1.22297319 87.753296 -70.071202
    Oben rechts KachelX + 1 48744 KachelY 50907 1.53167982 -1.22297319 87.758789 -70.071202
    Unten links KachelX 48743 KachelY + 1 50908 1.53158394 -1.22300587 87.753296 -70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 48744 KachelY + 1 50908 1.53167982 -1.22300587 87.758789 -70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22297319--1.22300587) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dl = 208.204279999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22297319--1.22300587) × R
    3.26799999998961e-05 × 6371000     		dr = 208.204279999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53158394-1.53167982) × cos(-1.22297319) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340852110725676 × 6371000     		do = 208.210016297766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53158394-1.53167982) × cos(-1.22300587) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 208.19124898361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22297319)-sin(-1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340852110725676-0.340821387522457)×R²
    abs(1.53167982-1.53158394)×3.07232032187299e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07232032187299e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07232032187299e-05×40589641000000     		ar = 43348.2628183913m²