Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48737 / 82229
↖ ↑ ↗
← S 41.617496°
W 46.139832°		 ← 228.33 m → S 41.617496°
W 46.137085°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 41.619549°
W 46.139832°		 ← 228.33 m →
52 122 m²		 S 41.619549°
W 46.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371837615966797 y=0.627361297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371837615966797 × 217)
    floor (0.371837615966797 × 131072)
    floor (48737.5)     		tx = 48737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627361297607422 × 217)
    floor (0.627361297607422 × 131072)
    floor (82229.5)     		ty = 82229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48737 / 82229 ti = "17/48737/82229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48737/82229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48737 ÷ 217
    48737 ÷ 131072     		x = 0.371833801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82229 ÷ 217
    82229 ÷ 131072     		y = 0.627357482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371833801269531 × 2 - 1) × π
    -0.256332397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80529198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627357482910156 × 2 - 1) × π
    -0.254714965820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.800210665357597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80529198} λ = -0.80529198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800210665357597))-π/2
    2×atan(0.449234316040203)-π/2
    2×0.422217000300084-π/2
    0.844434000600168-1.57079632675     		φ = -0.72636233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80529198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.139832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72636233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.617496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48737 KachelY 82229 -0.80529198 -0.72636233 -46.139832 -41.617496
    Oben rechts KachelX + 1 48738 KachelY 82229 -0.80524404 -0.72636233 -46.137085 -41.617496
    Unten links KachelX 48737 KachelY + 1 82230 -0.80529198 -0.72639816 -46.139832 -41.619549
    Unten rechts KachelX + 1 48738 KachelY + 1 82230 -0.80524404 -0.72639816 -46.137085 -41.619549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72636233--0.72639816) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dl = 228.272930000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72636233--0.72639816) × R
    3.583000000007e-05 × 6371000     		dr = 228.272930000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.72636233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747595318351973 × 6371000     		do = 228.334853328037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.72639816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747571521215284 × 6371000     		du = 228.327585069954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72636233)-sin(-0.72639816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747595318351973-0.747571521215284)×R²
    abs(-0.80524404--0.80529198)×2.37971366890966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37971366890966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37971366890966e-05×40589641000000     		ar = 52121.8364227551m²