Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48737 / 81822
↖ ↑ ↗
← S 40.776382°
W 46.139832°		 ← 231.29 m → S 40.776382°
W 46.137085°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.778462°
W 46.139832°		 ← 231.28 m →
53 489 m²		 S 40.778462°
W 46.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371837615966797 y=0.624256134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371837615966797 × 217)
    floor (0.371837615966797 × 131072)
    floor (48737.5)     		tx = 48737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624256134033203 × 217)
    floor (0.624256134033203 × 131072)
    floor (81822.5)     		ty = 81822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48737 / 81822 ti = "17/48737/81822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48737/81822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48737 ÷ 217
    48737 ÷ 131072     		x = 0.371833801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81822 ÷ 217
    81822 ÷ 131072     		y = 0.624252319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371833801269531 × 2 - 1) × π
    -0.256332397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80529198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624252319335938 × 2 - 1) × π
    -0.248504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.780700347212234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80529198} λ = -0.80529198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780700347212234))-π/2
    2×atan(0.45808508032781)-π/2
    2×0.429557103808143-π/2
    0.859114207616287-1.57079632675     		φ = -0.71168212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80529198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.139832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71168212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.776382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48737 KachelY 81822 -0.80529198 -0.71168212 -46.139832 -40.776382
    Oben rechts KachelX + 1 48738 KachelY 81822 -0.80524404 -0.71168212 -46.137085 -40.776382
    Unten links KachelX 48737 KachelY + 1 81823 -0.80529198 -0.71171842 -46.139832 -40.778462
    Unten rechts KachelX + 1 48738 KachelY + 1 81823 -0.80524404 -0.71171842 -46.137085 -40.778462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71168212--0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71168212--0.71171842) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.71168212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757264340981964 × 6371000     		do = 231.288021719877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.71171842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757240632644357 × 6371000     		du = 231.280780583319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71168212)-sin(-0.71171842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757264340981964-0.757240632644357)×R²
    abs(-0.80524404--0.80529198)×2.3708337606565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3708337606565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3708337606565e-05×40589641000000     		ar = 53488.5189922938m²