Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48737 / 81139
↖ ↑ ↗
← S 39.340670°
W 46.139832°		 ← 236.21 m → S 39.340670°
W 46.137085°		 →
↑
236.17 m
↓
↑
236.17 m
↓
S 39.342794°
W 46.139832°		 ← 236.21 m →
55 786 m²		 S 39.342794°
W 46.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371837615966797 y=0.619045257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371837615966797 × 217)
    floor (0.371837615966797 × 131072)
    floor (48737.5)     		tx = 48737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619045257568359 × 217)
    floor (0.619045257568359 × 131072)
    floor (81139.5)     		ty = 81139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48737 / 81139 ti = "17/48737/81139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48737/81139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48737 ÷ 217
    48737 ÷ 131072     		x = 0.371833801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81139 ÷ 217
    81139 ÷ 131072     		y = 0.619041442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371833801269531 × 2 - 1) × π
    -0.256332397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80529198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619041442871094 × 2 - 1) × π
    -0.238082885742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.747959444771736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80529198} λ = -0.80529198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747959444771736))-π/2
    2×atan(0.473331426884556)-π/2
    2×0.442086050407855-π/2
    0.884172100815711-1.57079632675     		φ = -0.68662423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80529198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.139832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68662423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.340670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48737 KachelY 81139 -0.80529198 -0.68662423 -46.139832 -39.340670
    Oben rechts KachelX + 1 48738 KachelY 81139 -0.80524404 -0.68662423 -46.137085 -39.340670
    Unten links KachelX 48737 KachelY + 1 81140 -0.80529198 -0.68666130 -46.139832 -39.342794
    Unten rechts KachelX + 1 48738 KachelY + 1 81140 -0.80524404 -0.68666130 -46.137085 -39.342794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68662423--0.68666130) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dl = 236.172970000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68662423--0.68666130) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dr = 236.172970000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.68662423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773390419552108 × 6371000     		do = 236.213341200458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80529198--0.80524404) × cos(-0.68666130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773366919235212 × 6371000     		du = 236.20616359878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68662423)-sin(-0.68666130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773390419552108-0.773366919235212)×R²
    abs(-0.80524404--0.80529198)×2.35003168960191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35003168960191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35003168960191e-05×40589641000000     		ar = 55786.3587736113m²