Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48736 / 81249
↖ ↑ ↗
← S 39.573939°
W 46.142578°		 ← 235.37 m → S 39.573939°
W 46.139832°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
S 39.576056°
W 46.142578°		 ← 235.37 m →
55 408 m²		 S 39.576056°
W 46.139832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371829986572266 y=0.619884490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371829986572266 × 217)
    floor (0.371829986572266 × 131072)
    floor (48736.5)     		tx = 48736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619884490966797 × 217)
    floor (0.619884490966797 × 131072)
    floor (81249.5)     		ty = 81249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48736 / 81249 ti = "17/48736/81249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48736/81249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48736 ÷ 217
    48736 ÷ 131072     		x = 0.371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81249 ÷ 217
    81249 ÷ 131072     		y = 0.619880676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80533991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619880676269531 × 2 - 1) × π
    -0.239761352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.753232503729942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80533991} λ = -0.80533991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753232503729942))-π/2
    2×atan(0.470842091338399)-π/2
    2×0.440050393640645-π/2
    0.880100787281289-1.57079632675     		φ = -0.69069554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80533991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69069554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.573939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48736 KachelY 81249 -0.80533991 -0.69069554 -46.142578 -39.573939
    Oben rechts KachelX + 1 48737 KachelY 81249 -0.80529198 -0.69069554 -46.139832 -39.573939
    Unten links KachelX 48736 KachelY + 1 81250 -0.80533991 -0.69073249 -46.142578 -39.576056
    Unten rechts KachelX + 1 48737 KachelY + 1 81250 -0.80529198 -0.69073249 -46.139832 -39.576056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69069554--0.69073249) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dl = 235.408450000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69069554--0.69073249) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dr = 235.408450000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80533991--0.80529198) × cos(-0.69069554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770803091405975 × 6371000     		do = 235.373996722148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80533991--0.80529198) × cos(-0.69073249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770779551015419 × 6371000     		du = 235.366808380701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69069554)-sin(-0.69073249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770803091405975-0.770779551015419)×R²
    abs(-0.80529198--0.80533991)×2.3540390555854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3540390555854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3540390555854e-05×40589641000000     		ar = 55408.1816467307m²