Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48734 / 50910
↖ ↑ ↗
← S 70.076819°
E 87.703857°		 ← 208.13 m → S 70.076819°
E 87.709350°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 70.078691°
E 87.703857°		 ← 208.11 m →
43 319 m²		 S 70.078691°
E 87.709350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743629455566406 y=0.776832580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743629455566406 × 216)
    floor (0.743629455566406 × 65536)
    floor (48734.5)     		tx = 48734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776832580566406 × 216)
    floor (0.776832580566406 × 65536)
    floor (50910.5)     		ty = 50910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48734 / 50910 ti = "16/48734/50910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48734/50910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48734 ÷ 216
    48734 ÷ 65536     		x = 0.743621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50910 ÷ 216
    50910 ÷ 65536     		y = 0.776824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743621826171875 × 2 - 1) × π
    0.48724365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53072108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.55364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73934246581412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53072108} λ = 1.53072108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73934246581412))-π/2
    2×atan(0.175635849232268)-π/2
    2×0.173862554756276-π/2
    0.347725109512553-1.57079632675     		φ = -1.22307122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53072108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.703857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22307122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.076819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48734 KachelY 50910 1.53072108 -1.22307122 87.703857 -70.076819
    Oben rechts KachelX + 1 48735 KachelY 50910 1.53081695 -1.22307122 87.709350 -70.076819
    Unten links KachelX 48734 KachelY + 1 50911 1.53072108 -1.22310389 87.703857 -70.078691
    Unten rechts KachelX + 1 48735 KachelY + 1 50911 1.53081695 -1.22310389 87.709350 -70.078691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22307122--1.22310389) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22307122--1.22310389) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53072108-1.53081695) × cos(-1.22307122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340759949425581 × 6371000     		do = 208.132009614959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53072108-1.53081695) × cos(-1.22310389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340729234532213 × 6371000     		du = 208.113249333733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22307122)-sin(-1.22310389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340759949425581-0.340729234532213)×R²
    abs(1.53081695-1.53072108)×3.07148933680335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07148933680335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07148933680335e-05×40589641000000     		ar = 43318.7627325161m²