Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48733 / 81143
↖ ↑ ↗
← S 39.349166°
W 46.150818°		 ← 236.14 m → S 39.349166°
W 46.148071°		 →
↑
236.17 m
↓
↑
236.17 m
↓
S 39.351290°
W 46.150818°		 ← 236.13 m →
55 768 m²		 S 39.351290°
W 46.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371807098388672 y=0.619075775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371807098388672 × 217)
    floor (0.371807098388672 × 131072)
    floor (48733.5)     		tx = 48733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619075775146484 × 217)
    floor (0.619075775146484 × 131072)
    floor (81143.5)     		ty = 81143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48733 / 81143 ti = "17/48733/81143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48733/81143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48733 ÷ 217
    48733 ÷ 131072     		x = 0.371803283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81143 ÷ 217
    81143 ÷ 131072     		y = 0.619071960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371803283691406 × 2 - 1) × π
    -0.256393432617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.80548372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619071960449219 × 2 - 1) × π
    -0.238143920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.748151192370216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80548372} λ = -0.80548372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748151192370216))-π/2
    2×atan(0.473240675421131)-π/2
    2×0.442011907036388-π/2
    0.884023814072776-1.57079632675     		φ = -0.68677251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80548372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.150818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68677251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.349166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48733 KachelY 81143 -0.80548372 -0.68677251 -46.150818 -39.349166
    Oben rechts KachelX + 1 48734 KachelY 81143 -0.80543579 -0.68677251 -46.148071 -39.349166
    Unten links KachelX 48733 KachelY + 1 81144 -0.80548372 -0.68680958 -46.150818 -39.351290
    Unten rechts KachelX + 1 48734 KachelY + 1 81144 -0.80543579 -0.68680958 -46.148071 -39.351290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68677251--0.68680958) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dl = 236.172970000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68677251--0.68680958) × R
    3.70700000000834e-05 × 6371000     		dr = 236.172970000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80548372--0.80543579) × cos(-0.68677251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773296411908158 × 6371000     		do = 236.135362132136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80548372--0.80543579) × cos(-0.68680958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773272907340459 × 6371000     		du = 236.128184729629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68677251)-sin(-0.68680958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773296411908158-0.773272907340459)×R²
    abs(-0.80543579--0.80548372)×2.35045676988399e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35045676988399e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35045676988399e-05×40589641000000     		ar = 55767.9422492543m²