Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48731 / 81257
↖ ↑ ↗
← S 39.590874°
W 46.156311°		 ← 235.37 m → S 39.590874°
W 46.153564°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 39.592990°
W 46.156311°		 ← 235.36 m →
55 391 m²		 S 39.592990°
W 46.153564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371791839599609 y=0.619945526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371791839599609 × 217)
    floor (0.371791839599609 × 131072)
    floor (48731.5)     		tx = 48731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619945526123047 × 217)
    floor (0.619945526123047 × 131072)
    floor (81257.5)     		ty = 81257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48731 / 81257 ti = "17/48731/81257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48731/81257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48731 ÷ 217
    48731 ÷ 131072     		x = 0.371788024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81257 ÷ 217
    81257 ÷ 131072     		y = 0.619941711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371788024902344 × 2 - 1) × π
    -0.256423950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.80557960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619941711425781 × 2 - 1) × π
    -0.239883422851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.753615998926903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80557960} λ = -0.80557960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753615998926903))-π/2
    2×atan(0.470661560276454)-π/2
    2×0.439902612054394-π/2
    0.879805224108789-1.57079632675     		φ = -0.69099110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80557960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.156311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69099110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.590874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48731 KachelY 81257 -0.80557960 -0.69099110 -46.156311 -39.590874
    Oben rechts KachelX + 1 48732 KachelY 81257 -0.80553166 -0.69099110 -46.153564 -39.590874
    Unten links KachelX 48731 KachelY + 1 81258 -0.80557960 -0.69102804 -46.156311 -39.592990
    Unten rechts KachelX + 1 48732 KachelY + 1 81258 -0.80553166 -0.69102804 -46.153564 -39.592990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69099110--0.69102804) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69099110--0.69102804) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80557960--0.80553166) × cos(-0.69099110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770614764309656 × 6371000     		do = 235.365584644048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80557960--0.80553166) × cos(-0.69102804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770591221875659 × 6371000     		du = 235.358394178723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69099110)-sin(-0.69102804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770614764309656-0.770591221875659)×R²
    abs(-0.80553166--0.80557960)×2.35424339976031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35424339976031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35424339976031e-05×40589641000000     		ar = 55391.206210202m²