Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48730 / 81404
↖ ↑ ↗
← S 39.901309°
W 46.159058°		 ← 234.31 m → S 39.901309°
W 46.156311°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
S 39.903415°
W 46.159058°		 ← 234.30 m →
54 888 m²		 S 39.903415°
W 46.156311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371784210205078 y=0.621067047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371784210205078 × 217)
    floor (0.371784210205078 × 131072)
    floor (48730.5)     		tx = 48730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621067047119141 × 217)
    floor (0.621067047119141 × 131072)
    floor (81404.5)     		ty = 81404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48730 / 81404 ti = "17/48730/81404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48730/81404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48730 ÷ 217
    48730 ÷ 131072     		x = 0.371780395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81404 ÷ 217
    81404 ÷ 131072     		y = 0.621063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371780395507812 × 2 - 1) × π
    -0.256439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80562754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.24212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.760662723171051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80562754} λ = -0.80562754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760662723171051))-π/2
    2×atan(0.467356596309739)-π/2
    2×0.437193558068001-π/2
    0.874387116136002-1.57079632675     		φ = -0.69640921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80562754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.159058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69640921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.901309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48730 KachelY 81404 -0.80562754 -0.69640921 -46.159058 -39.901309
    Oben rechts KachelX + 1 48731 KachelY 81404 -0.80557960 -0.69640921 -46.156311 -39.901309
    Unten links KachelX 48730 KachelY + 1 81405 -0.80562754 -0.69644598 -46.159058 -39.903415
    Unten rechts KachelX + 1 48731 KachelY + 1 81405 -0.80557960 -0.69644598 -46.156311 -39.903415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69640921--0.69644598) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69640921--0.69644598) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80562754--0.80557960) × cos(-0.69640921) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767150501897154 × 6371000     		do = 234.307509733699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80562754--0.80557960) × cos(-0.69644598) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767126914631364 × 6371000     		du = 234.30030557559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69640921)-sin(-0.69644598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767150501897154-0.767126914631364)×R²
    abs(-0.80557960--0.80562754)×2.35872657899927e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35872657899927e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35872657899927e-05×40589641000000     		ar = 54888.4247009599m²