Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4873 / 5293
↖ ↑ ↗
← S 46.468133°
E 34.145508°		 ← 3 365.61 m → S 46.468133°
E 34.189453°		 →
↑
3 364.65 m
↓
↑
3 364.65 m
↓
S 46.498392°
E 34.145508°		 ← 3 363.74 m →
11 320 963 m²		 S 46.498392°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59490966796875 y=0.64617919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59490966796875 × 213)
    floor (0.59490966796875 × 8192)
    floor (4873.5)     		tx = 4873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64617919921875 × 213)
    floor (0.64617919921875 × 8192)
    floor (5293.5)     		ty = 5293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4873 / 5293 ti = "13/4873/5293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4873/5293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4873 ÷ 213
    4873 ÷ 8192     		x = 0.5948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5293 ÷ 213
    5293 ÷ 8192     		y = 0.6461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5948486328125 × 2 - 1) × π
    0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918087501523315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59595154} λ = 0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918087501523315))-π/2
    2×atan(0.399281937430033)-π/2
    2×0.379887204422626-π/2
    0.759774408845252-1.57079632675     		φ = -0.81102192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81102192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.468133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4873 KachelY 5293 0.59595154 -0.81102192 34.145508 -46.468133
    Oben rechts KachelX + 1 4874 KachelY 5293 0.59671853 -0.81102192 34.189453 -46.468133
    Unten links KachelX 4873 KachelY + 1 5294 0.59595154 -0.81155004 34.145508 -46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 4874 KachelY + 1 5294 0.59671853 -0.81155004 34.189453 -46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81102192--0.81155004) × R
    0.000528120000000021 × 6371000     		dl = 3364.65252000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81102192--0.81155004) × R
    0.000528120000000021 × 6371000     		dr = 3364.65252000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59595154-0.59671853) × cos(-0.81102192) × R
    0.000766990000000023 × 0.688757909502705 × 6371000     		do = 3365.61090321949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59595154-0.59671853) × cos(-0.81155004) × R
    0.000766990000000023 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 3363.73948136988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81102192)-sin(-0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688757909502705-0.688374931006971)×R²
    abs(0.59671853-0.59595154)×0.000382978495733877×R²
    0.000766990000000023×0.000382978495733877×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382978495733877×40589641000000     		ar = 11320963.1278653m²