Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48729 / 81405
↖ ↑ ↗
← S 39.903415°
W 46.161804°		 ← 234.25 m → S 39.903415°
W 46.159058°		 →
↑
234.33 m
↓
↑
234.33 m
↓
S 39.905523°
W 46.161804°		 ← 234.24 m →
54 890 m²		 S 39.905523°
W 46.159058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371776580810547 y=0.621074676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371776580810547 × 217)
    floor (0.371776580810547 × 131072)
    floor (48729.5)     		tx = 48729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621074676513672 × 217)
    floor (0.621074676513672 × 131072)
    floor (81405.5)     		ty = 81405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48729 / 81405 ti = "17/48729/81405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48729/81405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48729 ÷ 217
    48729 ÷ 131072     		x = 0.371772766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81405 ÷ 217
    81405 ÷ 131072     		y = 0.621070861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371772766113281 × 2 - 1) × π
    -0.256454467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.80567547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621070861816406 × 2 - 1) × π
    -0.242141723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.760710660070671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80567547} λ = -0.80567547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760710660070671))-π/2
    2×atan(0.467334193220467)-π/2
    2×0.437175170942417-π/2
    0.874350341884834-1.57079632675     		φ = -0.69644598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80567547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.161804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69644598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.903415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48729 KachelY 81405 -0.80567547 -0.69644598 -46.161804 -39.903415
    Oben rechts KachelX + 1 48730 KachelY 81405 -0.80562754 -0.69644598 -46.159058 -39.903415
    Unten links KachelX 48729 KachelY + 1 81406 -0.80567547 -0.69648276 -46.161804 -39.905523
    Unten rechts KachelX + 1 48730 KachelY + 1 81406 -0.80562754 -0.69648276 -46.159058 -39.905523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69644598--0.69648276) × R
    3.67799999999585e-05 × 6371000     		dl = 234.325379999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69644598--0.69648276) × R
    3.67799999999585e-05 × 6371000     		dr = 234.325379999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80567547--0.80562754) × cos(-0.69644598) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767126914631364 × 6371000     		do = 234.251431919071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80567547--0.80562754) × cos(-0.69648276) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.767103319913157 × 6371000     		du = 234.244226988022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69644598)-sin(-0.69648276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767126914631364-0.767103319913157)×R²
    abs(-0.80562754--0.80567547)×2.35947182064544e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.35947182064544e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.35947182064544e-05×40589641000000     		ar = 54890.2116570864m²