Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48726 / 81130
↖ ↑ ↗
← S 39.321550°
W 46.170044°		 ← 236.23 m → S 39.321550°
W 46.167298°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
S 39.323675°
W 46.170044°		 ← 236.22 m →
55 820 m²		 S 39.323675°
W 46.167298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371753692626953 y=0.618976593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371753692626953 × 217)
    floor (0.371753692626953 × 131072)
    floor (48726.5)     		tx = 48726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618976593017578 × 217)
    floor (0.618976593017578 × 131072)
    floor (81130.5)     		ty = 81130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48726 / 81130 ti = "17/48726/81130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48726/81130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48726 ÷ 217
    48726 ÷ 131072     		x = 0.371749877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81130 ÷ 217
    81130 ÷ 131072     		y = 0.618972778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371749877929688 × 2 - 1) × π
    -0.256500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80581928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618972778320312 × 2 - 1) × π
    -0.237945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.747528012675156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80581928} λ = -0.80581928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747528012675156))-π/2
    2×atan(0.473535681312224)-π/2
    2×0.442252905946668-π/2
    0.884505811893335-1.57079632675     		φ = -0.68629051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80581928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.170044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68629051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.321550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48726 KachelY 81130 -0.80581928 -0.68629051 -46.170044 -39.321550
    Oben rechts KachelX + 1 48727 KachelY 81130 -0.80577135 -0.68629051 -46.167298 -39.321550
    Unten links KachelX 48726 KachelY + 1 81131 -0.80581928 -0.68632760 -46.170044 -39.323675
    Unten rechts KachelX + 1 48727 KachelY + 1 81131 -0.80577135 -0.68632760 -46.167298 -39.323675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68629051--0.68632760) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dl = 236.300390000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68629051--0.68632760) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dr = 236.300390000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80581928--0.80577135) × cos(-0.68629051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773601931605604 × 6371000     		do = 236.228656247153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80581928--0.80577135) × cos(-0.68632760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.773578428183473 × 6371000     		du = 236.221479194459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68629051)-sin(-0.68632760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773601931605604-0.773578428183473)×R²
    abs(-0.80577135--0.80581928)×2.35034221310881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35034221310881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35034221310881e-05×40589641000000     		ar = 55820.0756367598m²