Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48725 / 81134
↖ ↑ ↗
← S 39.330048°
W 46.172791°		 ← 236.25 m → S 39.330048°
W 46.170044°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 39.332173°
W 46.172791°		 ← 236.24 m →
55 810 m²		 S 39.332173°
W 46.170044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371746063232422 y=0.619007110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371746063232422 × 217)
    floor (0.371746063232422 × 131072)
    floor (48725.5)     		tx = 48725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619007110595703 × 217)
    floor (0.619007110595703 × 131072)
    floor (81134.5)     		ty = 81134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48725 / 81134 ti = "17/48725/81134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48725/81134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48725 ÷ 217
    48725 ÷ 131072     		x = 0.371742248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81134 ÷ 217
    81134 ÷ 131072     		y = 0.619003295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371742248535156 × 2 - 1) × π
    -0.256515502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.80586722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619003295898438 × 2 - 1) × π
    -0.238006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747719760273636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80586722} λ = -0.80586722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747719760273636))-π/2
    2×atan(0.473444890687258)-π/2
    2×0.442178742296676-π/2
    0.884357484593351-1.57079632675     		φ = -0.68643884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80586722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.172791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68643884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.330048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48725 KachelY 81134 -0.80586722 -0.68643884 -46.172791 -39.330048
    Oben rechts KachelX + 1 48726 KachelY 81134 -0.80581928 -0.68643884 -46.170044 -39.330048
    Unten links KachelX 48725 KachelY + 1 81135 -0.80586722 -0.68647592 -46.172791 -39.332173
    Unten rechts KachelX + 1 48726 KachelY + 1 81135 -0.80581928 -0.68647592 -46.170044 -39.332173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68643884--0.68647592) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68643884--0.68647592) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80586722--0.80581928) × cos(-0.68643884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773507930545686 × 6371000     		do = 236.24923208263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80586722--0.80581928) × cos(-0.68647592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773484429206014 × 6371000     		du = 236.242054168569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68643884)-sin(-0.68647592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773507930545686-0.773484429206014)×R²
    abs(-0.80581928--0.80586722)×2.35013396718831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35013396718831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35013396718831e-05×40589641000000     		ar = 55809.8864028649m²