Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48724 / 81396
↖ ↑ ↗
← S 39.884450°
W 46.175537°		 ← 234.37 m → S 39.884450°
W 46.172791°		 →
↑
234.33 m
↓
↑
234.33 m
↓
S 39.886558°
W 46.175537°		 ← 234.36 m →
54 917 m²		 S 39.886558°
W 46.172791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371738433837891 y=0.621006011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371738433837891 × 217)
    floor (0.371738433837891 × 131072)
    floor (48724.5)     		tx = 48724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621006011962891 × 217)
    floor (0.621006011962891 × 131072)
    floor (81396.5)     		ty = 81396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48724 / 81396 ti = "17/48724/81396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48724/81396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48724 ÷ 217
    48724 ÷ 131072     		x = 0.371734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81396 ÷ 217
    81396 ÷ 131072     		y = 0.621002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.25653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80591516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.760279227974091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80591516} λ = -0.80591516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760279227974091))-π/2
    2×atan(0.467535859690817)-π/2
    2×0.437340675426871-π/2
    0.874681350853742-1.57079632675     		φ = -0.69611498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80591516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69611498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.884450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48724 KachelY 81396 -0.80591516 -0.69611498 -46.175537 -39.884450
    Oben rechts KachelX + 1 48725 KachelY 81396 -0.80586722 -0.69611498 -46.172791 -39.884450
    Unten links KachelX 48724 KachelY + 1 81397 -0.80591516 -0.69615176 -46.175537 -39.886558
    Unten rechts KachelX + 1 48725 KachelY + 1 81397 -0.80586722 -0.69615176 -46.172791 -39.886558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69611498--0.69615176) × R
    3.67799999999585e-05 × 6371000     		dl = 234.325379999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69611498--0.69615176) × R
    3.67799999999585e-05 × 6371000     		dr = 234.325379999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80591516--0.80586722) × cos(-0.69611498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767339207568037 × 6371000     		do = 234.365145302328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80591516--0.80586722) × cos(-0.69615176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767315622190121 × 6371000     		du = 234.357941720824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69611498)-sin(-0.69615176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767339207568037-0.767315622190121)×R²
    abs(-0.80586722--0.80591516)×2.35853779165796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35853779165796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35853779165796e-05×40589641000000     		ar = 54916.8577469916m²