Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48724 / 81132
↖ ↑ ↗
← S 39.325799°
W 46.175537°		 ← 236.26 m → S 39.325799°
W 46.172791°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 39.327924°
W 46.175537°		 ← 236.26 m →
55 813 m²		 S 39.327924°
W 46.172791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371738433837891 y=0.618991851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371738433837891 × 217)
    floor (0.371738433837891 × 131072)
    floor (48724.5)     		tx = 48724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618991851806641 × 217)
    floor (0.618991851806641 × 131072)
    floor (81132.5)     		ty = 81132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48724 / 81132 ti = "17/48724/81132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48724/81132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48724 ÷ 217
    48724 ÷ 131072     		x = 0.371734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81132 ÷ 217
    81132 ÷ 131072     		y = 0.618988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.25653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80591516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.23797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747623886474396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80591516} λ = -0.80591516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747623886474396))-π/2
    2×atan(0.47349028382363)-π/2
    2×0.442215822995162-π/2
    0.884431645990324-1.57079632675     		φ = -0.68636468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80591516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68636468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.325799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48724 KachelY 81132 -0.80591516 -0.68636468 -46.175537 -39.325799
    Oben rechts KachelX + 1 48725 KachelY 81132 -0.80586722 -0.68636468 -46.172791 -39.325799
    Unten links KachelX 48724 KachelY + 1 81133 -0.80591516 -0.68640176 -46.175537 -39.327924
    Unten rechts KachelX + 1 48725 KachelY + 1 81133 -0.80586722 -0.68640176 -46.172791 -39.327924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68636468--0.68640176) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68636468--0.68640176) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80591516--0.80586722) × cos(-0.68636468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773554930034448 × 6371000     		do = 236.263586936265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80591516--0.80586722) × cos(-0.68640176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773531430821841 × 6371000     		du = 236.256409671865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68636468)-sin(-0.68640176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773554930034448-0.773531430821841)×R²
    abs(-0.80586722--0.80591516)×2.34992126066924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34992126066924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34992126066924e-05×40589641000000     		ar = 55813.2776225593m²