Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48721 / 81391
↖ ↑ ↗
← S 39.873911°
W 46.183777°		 ← 234.40 m → S 39.873911°
W 46.181030°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 39.876019°
W 46.183777°		 ← 234.39 m →
54 940 m²		 S 39.876019°
W 46.181030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371715545654297 y=0.620967864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371715545654297 × 217)
    floor (0.371715545654297 × 131072)
    floor (48721.5)     		tx = 48721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620967864990234 × 217)
    floor (0.620967864990234 × 131072)
    floor (81391.5)     		ty = 81391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48721 / 81391 ti = "17/48721/81391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48721/81391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48721 ÷ 217
    48721 ÷ 131072     		x = 0.371711730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81391 ÷ 217
    81391 ÷ 131072     		y = 0.620964050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371711730957031 × 2 - 1) × π
    -0.256576538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.80605897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620964050292969 × 2 - 1) × π
    -0.241928100585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.76003954347599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80605897} λ = -0.80605897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76003954347599))-π/2
    2×atan(0.467647934219418)-π/2
    2×0.437432642150344-π/2
    0.874865284300688-1.57079632675     		φ = -0.69593104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80605897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.183777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69593104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.873911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48721 KachelY 81391 -0.80605897 -0.69593104 -46.183777 -39.873911
    Oben rechts KachelX + 1 48722 KachelY 81391 -0.80601103 -0.69593104 -46.181030 -39.873911
    Unten links KachelX 48721 KachelY + 1 81392 -0.80605897 -0.69596783 -46.183777 -39.876019
    Unten rechts KachelX + 1 48722 KachelY + 1 81392 -0.80601103 -0.69596783 -46.181030 -39.876019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69593104--0.69596783) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69593104--0.69596783) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80605897--0.80601103) × cos(-0.69593104) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767457144530509 × 6371000     		do = 234.401166286907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80605897--0.80601103) × cos(-0.69596783) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.767433557932917 × 6371000     		du = 234.393962332883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69593104)-sin(-0.69596783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767457144530509-0.767433557932917)×R²
    abs(-0.80601103--0.80605897)×2.35865975921623e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35865975921623e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35865975921623e-05×40589641000000     		ar = 54940.2318029368m²