Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4872 / 8952
N 62.955223°
W126.474609°
← 555.43 m → N 62.955223°
W126.463623°

555.49 m

555.49 m
N 62.950227°
W126.474609°
← 555.53 m →
308 563 m²
N 62.950227°
W126.463623°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148696899414062 y=0.273208618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148696899414062 × 215)
    floor (0.148696899414062 × 32768)
    floor (4872.5)
    tx = 4872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273208618164062 × 215)
    floor (0.273208618164062 × 32768)
    floor (8952.5)
    ty = 8952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4872 / 8952 ti = "15/4872/8952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4872/8952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4872 ÷ 215
    4872 ÷ 32768
    x = 0.148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8952 ÷ 215
    8952 ÷ 32768
    y = 0.273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.70263671875 × 3.1415926535
    Λ = -2.20739835
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.273193359375 × 2 - 1) × π
    0.45361328125 × 3.1415926535
    Φ = 1.42506815190503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20739835} λ = -2.20739835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42506815190503))-π/2
    2×atan(4.15814121834502)-π/2
    2×1.33478612512091-π/2
    2.66957225024181-1.57079632675
    φ = 1.09877592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20739835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.474609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09877592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.955223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4872 KachelY 8952 -2.20739835 1.09877592 -126.474609 62.955223
    Oben rechts KachelX + 1 4873 KachelY 8952 -2.20720661 1.09877592 -126.463623 62.955223
    Unten links KachelX 4872 KachelY + 1 8953 -2.20739835 1.09868873 -126.474609 62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 4873 KachelY + 1 8953 -2.20720661 1.09868873 -126.463623 62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.09877592-1.09868873) × R
    8.71900000001258e-05 × 6371000
    dl = 555.487490000801m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.09877592-1.09868873) × R
    8.71900000001258e-05 × 6371000
    dr = 555.487490000801m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20739835--2.20720661) × cos(1.09877592) × R
    0.000191739999999996 × 0.454686690430664 × 6371000
    do = 555.434139393638m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20739835--2.20720661) × cos(1.09868873) × R
    0.000191739999999996 × 0.454764344602604 × 6371000
    du = 555.52899983066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.09877592)-sin(1.09868873))×
    abs(λ12)×abs(0.454686690430664-0.454764344602604)×
    abs(-2.20720661--2.20739835)×7.7654171940611e-05×
    0.000191739999999996×7.7654171940611e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.7654171940611e-05×40589641000000
    ar = 308563.06304083m²