Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48719 / 81070
↖ ↑ ↗
← S 39.193948°
W 46.189270°		 ← 236.71 m → S 39.193948°
W 46.186523°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
S 39.196077°
W 46.189270°		 ← 236.70 m →
56 024 m²		 S 39.196077°
W 46.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371700286865234 y=0.618518829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371700286865234 × 217)
    floor (0.371700286865234 × 131072)
    floor (48719.5)     		tx = 48719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618518829345703 × 217)
    floor (0.618518829345703 × 131072)
    floor (81070.5)     		ty = 81070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48719 / 81070 ti = "17/48719/81070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48719/81070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48719 ÷ 217
    48719 ÷ 131072     		x = 0.371696472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81070 ÷ 217
    81070 ÷ 131072     		y = 0.618515014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371696472167969 × 2 - 1) × π
    -0.256607055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.80615484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618515014648438 × 2 - 1) × π
    -0.237030029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.744651798697952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80615484} λ = -0.80615484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744651798697952))-π/2
    2×atan(0.474899631823996)-π/2
    2×0.443366441810788-π/2
    0.886732883621575-1.57079632675     		φ = -0.68406344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80615484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.189270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68406344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.193948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48719 KachelY 81070 -0.80615484 -0.68406344 -46.189270 -39.193948
    Oben rechts KachelX + 1 48720 KachelY 81070 -0.80610690 -0.68406344 -46.186523 -39.193948
    Unten links KachelX 48719 KachelY + 1 81071 -0.80615484 -0.68410059 -46.189270 -39.196077
    Unten rechts KachelX + 1 48720 KachelY + 1 81071 -0.80610690 -0.68410059 -46.186523 -39.196077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68406344--0.68410059) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68406344--0.68410059) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80615484--0.80610690) × cos(-0.68406344) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.77501124360225 × 6371000     		do = 236.708382585931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80615484--0.80610690) × cos(-0.68410059) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.774987766219897 × 6371000     		du = 236.701211989052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68406344)-sin(-0.68410059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77501124360225-0.774987766219897)×R²
    abs(-0.80610690--0.80615484)×2.34773823535317e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34773823535317e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34773823535317e-05×40589641000000     		ar = 56023.9186962694m²