Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48717 / 81071
↖ ↑ ↗
← S 39.196077°
W 46.194763°		 ← 236.65 m → S 39.196077°
W 46.192017°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
S 39.198205°
W 46.194763°		 ← 236.64 m →
56 011 m²		 S 39.198205°
W 46.192017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371685028076172 y=0.618526458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371685028076172 × 217)
    floor (0.371685028076172 × 131072)
    floor (48717.5)     		tx = 48717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618526458740234 × 217)
    floor (0.618526458740234 × 131072)
    floor (81071.5)     		ty = 81071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48717 / 81071 ti = "17/48717/81071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48717/81071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48717 ÷ 217
    48717 ÷ 131072     		x = 0.371681213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81071 ÷ 217
    81071 ÷ 131072     		y = 0.618522644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371681213378906 × 2 - 1) × π
    -0.256637573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.80625071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618522644042969 × 2 - 1) × π
    -0.237045288085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.744699735597572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80625071} λ = -0.80625071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744699735597572))-π/2
    2×atan(0.474876867153654)-π/2
    2×0.443347866274107-π/2
    0.886695732548214-1.57079632675     		φ = -0.68410059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80625071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.194763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68410059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.196077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48717 KachelY 81071 -0.80625071 -0.68410059 -46.194763 -39.196077
    Oben rechts KachelX + 1 48718 KachelY 81071 -0.80620278 -0.68410059 -46.192017 -39.196077
    Unten links KachelX 48717 KachelY + 1 81072 -0.80625071 -0.68413774 -46.194763 -39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 48718 KachelY + 1 81072 -0.80620278 -0.68413774 -46.192017 -39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68410059--0.68413774) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68410059--0.68413774) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80625071--0.80620278) × cos(-0.68410059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774987766219897 × 6371000     		do = 236.651837518218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80625071--0.80620278) × cos(-0.68413774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 236.644668090475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68410059)-sin(-0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774987766219897-0.774964287767965)×R²
    abs(-0.80620278--0.80625071)×2.34784519317355e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34784519317355e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34784519317355e-05×40589641000000     		ar = 56010.5355981155m²