Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48716 / 50900
↖ ↑ ↗
← S 70.058092°
E 87.604980°		 ← 208.32 m → S 70.058092°
E 87.610473°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 70.059965°
E 87.604980°		 ← 208.30 m →
43 398 m²		 S 70.059965°
E 87.610473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743354797363281 y=0.776679992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743354797363281 × 216)
    floor (0.743354797363281 × 65536)
    floor (48716.5)     		tx = 48716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776679992675781 × 216)
    floor (0.776679992675781 × 65536)
    floor (50900.5)     		ty = 50900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48716 / 50900 ti = "16/48716/50900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48716/50900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48716 ÷ 216
    48716 ÷ 65536     		x = 0.74334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50900 ÷ 216
    50900 ÷ 65536     		y = 0.77667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74334716796875 × 2 - 1) × π
    0.4866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52899535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.5533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73838372782172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52899535} λ = 1.52899535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73838372782172))-π/2
    2×atan(0.175804318739909)-π/2
    2×0.17402597814991-π/2
    0.348051956299819-1.57079632675     		φ = -1.22274437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52899535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.604980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22274437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.058092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48716 KachelY 50900 1.52899535 -1.22274437 87.604980 -70.058092
    Oben rechts KachelX + 1 48717 KachelY 50900 1.52909122 -1.22274437 87.610473 -70.058092
    Unten links KachelX 48716 KachelY + 1 50901 1.52899535 -1.22277707 87.604980 -70.059965
    Unten rechts KachelX + 1 48717 KachelY + 1 50901 1.52909122 -1.22277707 87.610473 -70.059965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22274437--1.22277707) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22274437--1.22277707) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52899535-1.52909122) × cos(-1.22274437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341067219356032 × 6371000     		do = 208.319686330567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52899535-1.52909122) × cos(-1.22277707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341036479901338 × 6371000     		du = 208.300911047583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22274437)-sin(-1.22277707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341067219356032-0.341036479901338)×R²
    abs(1.52909122-1.52899535)×3.07394546938955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07394546938955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07394546938955e-05×40589641000000     		ar = 43397.6386573881m²